Question

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 4 cm, a krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 stopni. Oblicz objętość ostrosłupa. Proszę o rozwiązanie i podanie wzorów. Dziękuje z góry!

Answer 1

Odpowiedź:

Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego:

V = (1/3) * Pp * H

gdzie:

Pp - pole podstawy

H - wysokość ostrosłupa

W naszym przypadku krawędź podstawy ma długość 4 cm, więc pole podstawy to:

Pp = (sqrt(3)/4) * a^2

gdzie a - długość krawędzi podstawy

Pp = (sqrt(3)/4) * 4^2 = 4sqrt(3)

Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 stopni, więc jej rzut na płaszczyznę podstawy ma długość:

h = a * sin(30) = 2 cm

Wysokość ostrosłupa to odcinek łączący środek podstawy z wierzchołkiem ostrosłupa i jest równoległy do krawędzi bocznej. Zatem, trójkąt prostokątny utworzony przez środek podstawy, wierzchołek ostrosłupa i punkt styczności krawędzi bocznej z płaszczyzną podstawy ma długość przyprostokątnej równej wysokości ostrosłupa.

W tym trójkącie znamy jedną przyprostokątną h = 2 i kąt między nimi, który wynosi 30 stopni. Zatem, druga przyprostokątna ma długość:

c = h / tan(30) = 2 / (sqrt(3)/3) = 2sqrt(3)

Wysokość ostrosłupa H to zatem:

H = c - r

gdzie r - promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa

Promień okręgu opisanego to połowa długości przeciwprostokątnej trójkąta równobocznego o boku a=4, czyli r = 2sqrt(3).

Stąd:

H = 2sqrt(3) - 2sqrt(3) = 0

Objętość ostrosłupa to zatem:

V = (1/3) * Pp * H = (1/3) * 4sqrt(3) * 0 = 0

Odpowiedź: objętość ostrosłupa wynosi 0 cm^3.