Question

W ciągu geometrycznym wyraz piąty jest równy 16. Oblicz iloczyn wyrazów a1 i a9.

Answer 1

[tex]\huge\boxed{a_1\cdot a_9=\bold{256}}[/tex]

Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz różni się od poprzedniego q razy.

[tex]\huge\boxed{\begin{matrix}a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\a_n=a_k\cdot q^{n-k}\end{matrix}}[/tex]

Dany jest piąty wyraz ciągu geometrycznego równy 16.

[tex]a_5=a_1\cdot q^4=16[/tex]

Musimy obliczyć iloczyn pierwszego i dziewiątego wyrazu.

[tex]a_1\cdot a_9=a_1\cdot a_1\cdot q^8 = a_1^2\cdot q^8[/tex]

Należy zauważyć, że:

[tex]a_1^2\cdot q^8=a_1^2\cdot (q^4)^2=(a_1\cdot q^4)^2[/tex]

Wartość wyrażenia w nawiasie już znamy, to piąty wyraz ciągu.

[tex](a_1\cdot q^4)^2=a_5^2 = 16^2=\boxed{256}[/tex]