Question

Uzasadnij, że wszystkie wyrazy ciągu an = 3n^4 + n^3 − 2n^2 są liczbami dodatnimi.

Answer 1

[tex]a_n=3n^4+n^3-2n^2[/tex]

Przekształćmy wzór ciągu.

[tex]a_n=3n^4+n^3-2n^2=n^2(3n^2+n-2)[/tex]

Ponieważ [tex]n\in\mathbb{N}_+[/tex], więc [tex]n^2 > 0[/tex].

Sprawdźmy, dla jakich n wyrażenie w nawiasie jest dodatnie.

[tex]3n^2+n-2 > 0\\\Delta=1^2-4*3*(-2)=1+24=25\\\sqrt\Delta=5\\n_1=\frac{-1-5}{2*3}=\frac{-6}{6}=-1\\n_2=\frac{-1+5}{2*3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}[/tex]

Ramiona paraboli skierowane są do góry, więc

[tex]n\in\left(-\infty,-1\right)\cup\left(\frac{2}{3},+\infty\right)[/tex]

Ponieważ [tex]n\in\mathbb{N}_+[/tex], więc z powyższego zbioru zostaje, że

[tex]n\in\{1,2,3,...\}=\mathbb{N}_+[/tex]

Zatem wyrażenie w nawiasie jest zawsze dodatnie.

Ostatecznie, skoro wzór ciągu jest iloczynem dwóch dodatnich czynników, więc jest zawsze dodatni.

To kończy dowód.