Zgodnie z jej definicją, dowolną liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka zwykłego [tex]\frac{a}{b}[/tex], gdzie [tex]a[/tex] jest dowolną liczbą całkowitą i [tex]b[/tex] jest dowolną liczbą całkowitą z wyłączeniem [tex]0[/tex].
Załóżmy, że [tex]log_3{2}[/tex] jest liczbą wymierną. Zatem może zostać przedstawiony w postaci, pamiętając, że [tex]\log_3{2} > 0[/tex]:
[tex]log_3{2} = \frac{a}{b}, \ a,b \in \mathbb{N}, b \neq 0.[/tex]
Korzystając z własności praw działań na logarytmach, otrzymujemy:
[tex]log_3{2} = \frac{a}{b}[/tex]
[tex]a\log_3{2} = b[/tex]
[tex]{({3^{\log_3{2}})}^{a} = 3^b[/tex]
[tex]2^a = 3^b[/tex]
Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ nie istnieją takie liczby naturalne, dla których obydwie strony tego równania są sobie równe. Zatem [tex]log_3{2}[/tex] nie jest liczbą wymierną cnd.
Zgodnie z jej definicją, dowolną liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka zwykłego [tex]\frac{a}{b}[/tex], gdzie [tex]a[/tex] jest dowolną liczbą całkowitą i [tex]b[/tex] jest dowolną liczbą całkowitą z wyłączeniem [tex]0[/tex].
Załóżmy, że [tex]log_3{2}[/tex] jest liczbą wymierną. Zatem może zostać przedstawiony w postaci, pamiętając, że [tex]\log_3{2} > 0[/tex]:
[tex]log_3{2} = \frac{a}{b}, \ a,b \in \mathbb{N}, b \neq 0.[/tex]
Korzystając z własności praw działań na logarytmach, otrzymujemy:
[tex]log_3{2} = \frac{a}{b}[/tex]
[tex]a\log_3{2} = b[/tex]
[tex]{({3^{\log_3{2}})}^{a} = 3^b[/tex]
[tex]2^a = 3^b[/tex]
Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ nie istnieją takie liczby naturalne, dla których obydwie strony tego równania są sobie równe. Zatem [tex]log_3{2}[/tex] nie jest liczbą wymierną cnd.