Question

Uzasadnij, że liczba x = log5 7 jest odwrotnością liczby y = log7 5
Proszę o wytłumaczenie

Answer 1

Aby udowodnić, że liczba x = log5 7 jest odwrotnością liczby y = log7 5, musimy wykazać, że zachodzi następująca relacja:

x * y = 1

Pierwszy krok to wyrażenie x i y w postaci potęg:

x = log5 7 oznacza, że 5^x = 7

y = log7 5 oznacza, że 7^y = 5

Teraz możemy pomnożyć te dwie równania:

(5^x) * (7^y) = 7 * 5

Teraz wykorzystajmy tożsamość potęg logarytmicznych, która mówi, że loga b * logb a = 1:

(log5 7) * (log7 5) = 1

Teraz zauważmy, że lewa strona równania to x * y. Zatem:

x * y = 1

Udało nam się udowodnić, że x * y = 1, co oznacza, że liczba x = log5 7 jest odwrotnością liczby y = log7 5. Oznacza to, że iloczyn logarytmów obu liczb wynosi 1, co jest charakterystyczną właściwością liczb odwrotnych.