Question

Uzasadnij, że każda prosta przechodząca przez punkt (-1,5) ma z parabolą y=-2x^2-3x+5 co najmniej jeden punkt wspólny.

Answer 1

Verified answer

Podstawiając współrzędne punktu do ogólnego równania prostej [tex]y=ax+b[/tex] otrzymujemy:

[tex]5=a\cdot(-1)+b\\5=-a+b[/tex]

Możemy zatem zapisać, że [tex]b=a+5[/tex].

Podstawiamy teraz otrzymane [tex]b[/tex] do ogólnego równania prostej:

[tex]y=ax+a+5[/tex]

Tworzymy teraz układ równań z powyższego równania i równania paraboli i pokazujemy, że ma on co najmniej jedno rozwiązanie.

[tex]\left\{\begin{aligned}&y=ax+a+5\\&y=-2x^2-3x+5\end{aligned}\right.\\\\ax+a+5=-2x^2-3x+5\\2x^2+3x+ax+a=0\\2x^2+(a+3)x+a=0[/tex]

Żeby istniało co najmniej jedno rozwiązanie, to musi zachodzić [tex]\Delta\geq0[/tex].

[tex]\Delta=(a+3)^2-4\cdot2\cdot a=a^2+6a+9-8a=a^2-2a+9[/tex]

[tex]a^2-2a+9\geq0\\a^2-2a+1+8\geq0\\(a-1)^2\geq-8\\a\in\mathbb{R}[/tex]

c.k.d