Question

Uzasadnij, że jeśli a√2 jest liczbą wymierną różną od 0, to a jest liczbą niewymierną.​

Answer 1

Verified answer

Dowód przez zaprzeczenie:

a[tex]\sqrt{2}\\[/tex] jest liczba wymierna, czyli  a[tex]\sqrt{2}\\[/tex] = [tex]\frac{b}{c} \\[/tex] i b,c to pewne liczby całkowite i c[tex]\neq[/tex]0

założenie: a jest liczbą wymierną, czyli a = [tex]\frac{e}{f}[/tex] i e,f to pewne liczby całkowite i f [tex]\neq[/tex] 0

wtedy:

[tex]\frac{e}{f}[/tex]      * [tex]\sqrt{2}\\[/tex]  =  [tex]\frac{b}{c} \\[/tex]

po podniesieniu obu stron do kwadratu i wymnożeniu obu stron przez cf:

[tex](ec)^{2} * 2 = (bf)^{2}\\[/tex]

Kwadrat liczby całkowitej ma parzystą liczbę 2ek w rozkładzie na czynniki pierwsze. Prawa strona jest kwadratem liczby całkowitej, więc prawa (i lewa) strona ma parzystą liczbę 2ek w rozkładzie na czynniki pierwsze, wiec [tex](ec)^{2}[/tex] ma nieparzystą liczbę dwójek w rozkładzie na czynniki pierwsze, ale [tex](ec)^{2}[/tex]  jest kwadratem liczby całkowitej, więc powinien mieć parzystą. Sprzeczność wynika z przyjęcia nieprawidłowych założeń. Zatem a nie jest liczbą wymierną.