Question

Uwzględnij dane przedstawione na rysunku, gdzie O jest środkiem okręgu, i oblicz miarę kąta alfa.
Podpunkty B i C.

Answer 1

a) 50°    b) 15°   c) 50°   d) 52°

Kąty w okręgu:

Kąt środkowy

to kąt , którego wierzchołkiem jest środek okręgu, a końce ramion leżą na okręgu.

Kąt wpisany

to kąt, którego wierzchołek i końce ramion leżą na okręgu.

Kąt dopisany

to kąt między cięciwą "odcinającą" łuk okręgu, a prostą styczną do okręgu w punkcie będącym jednym z końców tej cięciwy.

Własności kątów w okręgu

• Kąty wpisane i dopisane oparte na tym samym łuku mają tę samą miarę.
• Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą niż oparty na tym samym łuku kąt wpisany lub dopisany.
• Kąt oparty jest na łuku znajdującym się wewnątrz tego kąta.
• {Każde dwa promienie dzielą koło na dwa kąty środkowe.}

a)

Kąt α jest kątem dopisanym opartym na tym samym łuku (AB), co kąt wpisany ACB, więc ma taką samą miarę:

              [tex]\Large\text{$\alpha=50^\circ$}[/tex]

b)

Kąt α jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku (BC), co kąt wpisany BAC, więc ma taką samą miarę.

                [tex]\large\text{$|\angle BAC|=\alpha$}[/tex]

Prosta styczna do okręgu tworzy z poprowadzonym do punktu styczności promieniem (OA) okręgu kąt prosty.

Stąd:

         [tex]\large\text{$\alpha+75^\circ=90^\circ$}\\\\\Large\text{$\alpha=15^\circ$}[/tex]

c)

Kąt przyległy do kąta 130° jest kątem dopisanym opartym na tym samym łuku (AB), co kąt wpisany α, więc ma taką samą miarę.

Kąty przyległe mają razem 180°, czyli:                

        [tex]\large\text{$\alpha+130^\circ=180^\circ$}\\\\\Large\text{$\alpha=50^\circ$}[/tex]

d)

Kąt środkowy AOC (dorysuj sobie promień OC) jest oparty na tym samym łuku (AC), co kąt dopisany 62°, czyli:

          [tex]\large\text{$|\angle AOC|=2\cdot62^\circ=124^\circ$}[/tex]

|AO| = |BO| = |CO|  {to promienie okręgu}

Czyli trójkąty ΔABO i ΔACO są równoramienne.

Stąd:

        [tex]\large\text{$|\angle CAO|=(180^\circ-124^\circ):2=28^\circ$}\\\\\large\text{$|\angle BAO|=(180^\circ-132^\circ):2=24^\circ$}\\\\\Large\text{$\alpha=|\angle CAO|+|\angle BAO|=28^\circ+24^\circ=52^\circ$}[/tex]