Vamos a acercarnos al 3 por la izquierda. Para ello evaluamos en la función en valores cercanos a la izquierda de 3 utilizando la calculadora:
xf(x)
1 -1
2 -0.6
2.5 -0.454545454545455
2.9 -0.355932203389832
2.99 -0.335559265442399
2.999 -0.333555592598798
2.999999 -0.333333555575348
Haciendo el mismo procedimiento, si nos acercamos por la derecha obtenemos:
x f(x)
4 - 1/7
3.5 -0.230769230769231
3.1 -0.311475409836064
3.01 -0.331114808652251
3.001 -0.333111148141945
3.0001 -0.33331111148161
3.00001 -0.333331111134368
Como podemos observar, al acercarnos al 3 tanto por la derecha como por la izquierda obtenemos el mismo valor de -0.33333 o bien -1/3, por lo que a primera vista ese parece ser el límite. Comprobemos nuestra suposición factorizando la función y evaluando el límite:
Vamos a acercarnos al 3 por la izquierda. Para ello evaluamos en la función en valores cercanos a la izquierda de 3 utilizando la calculadora:
x f(x)
1 -1
2 -0.6
2.5 -0.454545454545455
2.9 -0.355932203389832
2.99 -0.335559265442399
2.999 -0.333555592598798
2.999999 -0.333333555575348
Haciendo el mismo procedimiento, si nos acercamos por la derecha obtenemos:
x f(x)
4 - 1/7
3.5 -0.230769230769231
3.1 -0.311475409836064
3.01 -0.331114808652251
3.001 -0.333111148141945
3.0001 -0.33331111148161
3.00001 -0.333331111134368
Como podemos observar, al acercarnos al 3 tanto por la derecha como por la izquierda obtenemos el mismo valor de -0.33333 o bien -1/3, por lo que a primera vista ese parece ser el límite. Comprobemos nuestra suposición factorizando la función y evaluando el límite:
[tex]\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-8x+15}{x^2-9} \\\\= \lim_{x \to 3} \dfrac{\left(x-3\right)\left(x-5\right)}{(x+3)(x-3)} \\\\ = \lim_{x \to 3} \dfrac{\left(x-5\right)}{(x+3)} \\\\= \dfrac{\left(3-5\right)}{(3+3)}\\\\ = \dfrac{-2}{6} \\\\= -\dfrac{1}{3}[/tex]
Comprobamos entonces que el valor supuesto utilizando aproximación fue correcto.