Question

Uprzejmie proszę o Rozwiązanie tego zadania. Treść podana na zdjęciu poniżej. Ale proszę o nie umieszczanie odpowiedzi z AI tylko rzetelną odpowiedź wraz z interpretacją geometryczną. Z góry dziękuję.

Answer 1

Odpowiedź:

Niech f(x) będzie funkcją jednej zmiennej rzeczywistej. Pochodną pierwszego rzędu funkcji f(x) w punkcie x = x0 definiujemy jako granicę ilorazu różnicowego, gdy przyrost argumentu dąży do zera:

f'(x0) = lim(d -> 0) [f(x0 + d) - f(x0)] / d

Interpretacja geometryczna pochodnej pierwszego rzędu:

Geometrycznie, pochodna pierwszego rzędu funkcji jednej zmiennej w punkcie x = x0 jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji f(x) w tym punkcie. Innymi słowy, jest to miara nachylenia krzywej reprezentującej funkcję w danym punkcie.

Udowodnienie wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji:

Chcemy udowodnić wzór: (f(x0) * g(x0))' = f'(x0) * g(x0) + f(x0) * g'(x0)

Rozwiązanie:

Przyjmujemy funkcję h(x) = f(x) * g(x). Oznaczmy przez f'(x0) i g'(x0) pochodne odpowiednio funkcji f(x) i g(x) w punkcie x = x0.

Korzystając z definicji pochodnej, mamy:

h'(x0) = lim(d -> 0) [h(x0 + d) - h(x0)] / d

Podstawiając wartości funkcji h(x) = f(x) * g(x):

h'(x0) = lim(d -> 0) [f(x0 + d) * g(x0 + d) - f(x0) * g(x0)] / d

Rozbijamy różnicę na dwie części:

h'(x0) = lim(d -> 0) [f(x0 + d) * g(x0 + d) - f(x0) * g(x0 + d) + f(x0) * g(x0 + d) - f(x0) * g(x0)] / d

Grupujemy i rozwiązujemy osobno:

h'(x0) = lim(d -> 0) [g(x0 + d) * [f(x0 + d) - f(x0)] + f(x0) * [g(x0 + d) - g(x0)]] / d

Podstawiamy definicję pochodnej dla funkcji f(x) i g(x):

h'(x0) = lim(d -> 0) [g(x0 + d) * f'(x0) + f(x0) * g'(x0)] / d

Rozbijamy iloczyn:

h'(x0) = lim(d -> 0) g(x0 + d) * f'(x0) / d + f(x0) * g'(x0) / d

Korzystając z definicji granicy, mamy:

h'(x0) = f'(x0) * g(x0) + f(x0) * g'(x0)

Ostatecznie, uzyskaliśmy pożądany wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji.