Question

Uprość wiedzac ze alfa jest kątem ostrym tylko g) i h)
Dam naj

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

W załączniku.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Answer 2

[tex]\huge\boxed{\begin{array}{ll}g)&\dfrac{1+ctg\alpha+ctg^2\alpha}{1+tg\alpha+tg^2\alpha}=\boxed{\bold{ctg^2\alpha}}\\\\h)&\dfrac{cos^2\alpha-ctg^2\alpha}{sin^2\alpha-tg^2\alpha}=\boxed{\bold{ctg^6\alpha}}\end{array}}[/tex]

Funkcje trygonometryczne

Jedynka Trygonometryczna:

[tex]\huge\boxed{\begin{array}{lll}sin^2\alpha+cos^2\alpha=1&\Rightarrow&\left\{\begin{array}{l}sin^2\alpha=1-cos^2\alpha\\\\cos^2\alpha=1-sin^2\alpha\end{array}\right.\end{array}}[/tex]

Wzory na tangens i cotangens:

[tex]\boxed{\begin{array}{lll}tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}& \to& tg^n\alpha=\dfrac{sin^n\alpha}{cos^n\alpha}\\\\ctg\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}&\to&ctg^n\alpha=\dfrac{cos^n\alpha}{sin^n\alpha}\\\\tg\alpha\cdot ctg\alpha=1&\to&\left\{\begin{array}{lll}tg\alpha=\dfrac{1}{ctg\alpha} &\to&tg^n\alpha=\dfrac1{ctg^n\alpha}\\\\ctg\alpha=\dfrac1{tg\alpha}&\to&ctg^n\alpha=\dfrac1{tg^n\alpha}\end{array}\end{array}}[/tex]

Rozwiązanie:

g)

[tex]\dfrac{1+ctg\alpha+ctg^2\alpha}{1+tg\alpha+tg^2\alpha}[/tex]

Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias w mianowniku:

[tex]\dfrac{1+ctg\alpha+ctg^2\alpha}{tg^2\alpha(\frac1{tg^2\alpha}+\frac1{tg\alpha}+1)}[/tex]

Korzystając ze wzoru na cotangens jako odwrotność funkcji tangens, upraszczamy zapis mianownika:

[tex]\dfrac{1+ctg\alpha+ctg^2\alpha}{tg^2\alpha(ctg^2\alpha+ctg\alpha+1)}[/tex]

Należy zauważyć, że licznik jest taki sam, jak wyrażenie w nawiasie w mianowniku. Mozna zatem skrócić te wyrażenia otrzymując w efekcie:

[tex]\dfrac1{tg^2\alpha}=\boxed{\bold{ctg^2\alpha}}[/tex]

h)

[tex]\dfrac{cos^2\alpha-ctg^2\alpha}{sin^2\alpha-tg^2\alpha}[/tex]

Zajmijmy się licznikiem ułamka. Kwadrat funkcji cotangens przedstawmy jako iloraz kwadratów funkcji cosinus przez sinus:

[tex]cos^2\alpha-\dfrac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}=\dfrac{sin^2\alpha cos^2\alpha}{sin^2\alpha}-\dfrac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}=\dfrac{sin^2\alpha cos^2\alpha-cos^2\alpha}{sin^2\alpha}=\dfrac{cos^2\alpha(sin^2\alpha-1)}{sin^2\alpha}=\\\\=\dfrac{cos^2\alpha\cdot cos^2\alpha}{sin^2\alpha}=\underline{\bold{\dfrac{cos^4\alpha}{sin^2\alpha}}}[/tex]

W ten sam sposób zajmijmy się mianownikiem - kwadrat funkcji tangens przedstawimy jako iloraz kwadratów funkcji sinus przez cosinus:

[tex]sin^2\alpha-tg^2\alpha=sin^2\alpha-\dfrac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\dfrac{sin^2\alpha cos^2\alpha}{cos^2\alpha}-\dfrac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\dfrac{sin^2\alpha cos^2\alpha-sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\\\\\\=\dfrac{sin^2\alpha(cos^2\alpha-1)}{cos^2\alpha}=\dfrac{sin^2\alpha\cdot sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\underline{\bold{\dfrac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha}}}[/tex]

Zapisujemy powstałe równanie i rozwiązujemy:

[tex]\dfrac{\frac{cos^4\alpha}{sin^2\alpha}}{\frac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha}}=\dfrac{cos^4\alpha}{sin^2\alpha}:\dfrac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha}=\dfrac{cos^4\alpha}{sin^2\alpha}\cdot\dfrac{cos^2\alpha}{sin^4\alpha}=\dfrac{cos^6\alpha}{sin^6\alpha}=\boxed{\bold{ctg^6\alpha}}[/tex]