Una ventana rectangular está rematada por un semicirculo. El perímetro de la ventana es 200 cm y la cantidad de luz que ingresa por ella es directamente proporcional al área de la ventana, (a) Si x cm es el radio del semicirculo, expresar la cantidad de luz que ingresa por la ventana como función de x; (b) ¿Cúal es el dominio de la función resultante?; (c) ¿Cúal es el radio del semicirculo de la ventana que admite el paso de la mayor cantidad de luz?
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Respuesta:
no se la respuesta pero si puedo darte un ejemplo
Explicación paso a paso:
El per´ımetro de la ventana. P es constante
P = x + 2y +
πx
2 = x
1 + π
2
+ 2y = x
2 + π
2
+ 2y
El ´area de la ventana. Esta es la funci´on que deseamos
optimizar.
A = xy +
π
x
2
2
2 = xy +
π
8
x2
Despejamos y de la restricci´on, esto es, de la f´ormula del per´ımetro
y = 1
2
P − 2 + π
2
x
= P
2 − 2 + π
4 x
Sustituimos en la funci´on ´area y queda en funci´on de una sola variable
A = x
P
2 − 2 + π
4 x
+
π
8
x2 = P
2
x − 2 + π
4 x2 +
π
8
x2 =
P
2 + −4 − 2π + π
8
x2 = P
2
x − 4 + π
8
x2
A0 = P
2 − 4 + π
4 x
A00 = −4 + π
4 < 0
Segunda derivada siempre negativa
A0 = 0 ⇒
P
2 − 4 + π
4
x = 0 ⇒ x =
P
2
4 + π
4
= 2P
4 + π
M´aximo absoluto
y = P
2 − 2 + π
4
2P
4 + π = 1
2
P − 2 + π
4 + π
P
= 1
2
2P
4 + π
. La mitad de x