Una progresión geométrica de razón positiva consta de 4 términos. Sabiendo que
la suma de los primeros es 8 y que la suma correspondiente de los últimos es 72.
Hallar la progresión.
ayuda porfavor
la suma de los primeros es 8 y que la suma correspondiente de los últimos es 72.
Hallar la progresión.
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La progresión geométrica es 2, 6, 18, 54.
Explicación paso a paso:
El término general de una progresión geométrica, donde r es la razón y [tex]a_0[/tex] es el primer término es:
[tex]a_n=a_0.r^n[/tex]
Con lo cual, si la progresión consta de 4 términos, la suma de los primeros términos es:
[tex]a_0+a_1=8\\a_0.n^0+a_0.n^1=8\\\\a_0+a_0.n=8\\\\a_0(1+n)=8[/tex]
Y también tenemos la suma de los 2 últimos términos cuyo resultado es 72 es:
[tex]a_2+a_3=72\\a_0.n^2+a_0.n^3=72\\\\a_0(n^2+n^3)=72\\\\a_0.n^2(1+n)=72[/tex]
Ahora podemos reemplazar en esta última expresión la suma de los dos primeros términos:
[tex]a_0(1+n).n^2=72\\\\a_0(1+n)=8=>8.n^2=72\\\\n^2=\frac{72}{8}=9\\\\n=3[/tex]
Y el primer término es:
[tex]a_0(1+n)=8\\\\a_0=\frac{8}{1+n}=\frac{8}{1+3}=2[/tex]
Con lo cual la progresión queda:
[tex]a_0=2\\a_1=a_0.n^1=2.3^1=6\\a_2=a_0.n^2=2.3^2=18\\a_3=a_0.n^3=2.3^3=54[/tex]