Question

Una escalera de 12m de longitud está apoyada en una pared. Si la base de la escalera dista 7m de la base de la pared, entonces, determine la altura a la que se encuentra la escalera.

Answer 1

La altura a la que se encuentra la escalera sobre la pared es de aproximadamente 9.75 metros

Se desea hallar la altura que se puede alcanzar con una escalera que está apoyada sobre una pared donde se conocen la longitud de la escalera y la distancia desde el pie de la escalera a la pared

En donde la distancia de la parte inferior de la escalera a la pared sería un cateto, y la longitud de la escalera la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Luego

Este problema se resuelve empleando el Teorema de Pitágoras

¿De qué se trata del teorema de Pitágoras?  

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos hallar el valor del tercero.

Un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.  Por lo tanto los dos ángulos restantes son agudos.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.    

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

[tex]\large\boxed {\bold { cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2}= hipotenusa^{2} }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2} = c^{2} }}[/tex]

Solución

El ángulo que forma la altura de la pared con el suelo es un ángulo recto, con lo que tenemos un triángulo rectángulo.

Donde la distancia desde la base de la escalera hasta la base de la pared forma un cateto, el otro cateto lo conforma la altura de la pared y donde la longitud de la escalera es la hipotenusa del triángulo rectángulo

Conocemos la distancia de la base de la escalera a a pared (cateto 2= b) y la longitud de la escalera (c)

Debemos hallar la altura a la que se encuentra la escalera sobre la pared de acuerdo a los datos dados

Empleamos la notación habitual en los triángulos rectángulos donde a y b son los catetos y c la hipotenusa

Llamaremos "a" a la altura a la que se encuentra la parte superior de la escalera o en otras palabras la altura que se puede alcanzar con la escalera - que es nuestra incógnita-

[tex]\large\textsf{Altura que Alcanza Escalera Sobre Pared = a }[/tex]    

Llamaremos "b" a la distancia de la base de la escalera a la pared

[tex]\large\textsf{Distancia Base Escalera a la Pared = b = 7 m }[/tex]

Y a la longitud de la escalera "c"

[tex]\large\textsf{Longitud de la Escalera = c = 12 m}[/tex]

Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar la altura que se alcanza con la escalera o lo que es lo mismo a que altura se encuentra la escalera

[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = c^{2} \ - \ b^{2} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { a^{2} = ( 12\ m )^{2} \ - \ ( 7\ m )^{2} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { a^{2} = 144 \ m^{2} \ - \ 49 \ m^{2} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { a^{2} = 95 \ m^{2} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { \sqrt{ a^{2} } = \sqrt{95 \ m^{2} } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { a = \sqrt{95 \ m^{2} } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { a = 9.74679 \ metros }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { a \approx 9.75 \ metros }}[/tex]

La altura a la que se encuentra la escalera sobre la pared es de aproximadamente 9.75 metros