Question

Una caja contiene 8 bolas rojas,3 bolas blancas y 9 azules .si se extrae 3 bolas al azar ,¿cual es la probabilidad de que salga al menos una blanca y al menos una azul

Answer 1

Asumiendo que las bolas se extraen de forma simult´anea, consideremos el espacio muestralΩ ={w={w1, w2, w3}:wi∈ {r, b, a}},donde wi, i= 1,2,3 representa el color de cada bola que se extrae, siendor si la bola es roja,b si es blanca y a si es azul. Este espacio no es equiproba-ble. Sin embargo, si se numeran las bolas del 1 al 20 (es decir, se consideran las bolas de un mismo color distinguibles entre s´ ı) y se considera como es- pacio muestral Ω = { w = { w 1 , w 2 , w 3 } : w i = 1 , 2 , . . . , 20; i = 1 , 2 , 3 } , s´ ı se tendr´a un espacio equiprobable, siendo | Ω | = C 20 , 3 , y podremos usar la regla de Laplace. 1. Sea el suceso A = “Se extraen tres bolas rojas”. La probabilidad pedida es entonces: P ( A ) = C 8 , 3 C 20 , 3 = 14 285 . 2. Representemos por B al suceso “Se extraen tres bolas blancas”. Se tiene que: P ( B ) = C 3 , 3 C 20 , 3 = 1 1140 . 3. Definamos el suceso C = “Se extraen dos bolas rojas y una blanca”. Teniendo en cuenta que hay 8 bolas rojas y 3 blancas, se obtiene: P ( C ) = C 8 , 2 · C 3 , 1 C 20 , 3 = 7 95 .

Sea D el suceso “Al menos una de las bolas extra´ıdas es blanca”.Entonces,P(D) = 1-P(Dc) = 1-C17,3C20,3= 1-3457=2357.5.Definamos el suceso E = “Se extraen 3 bolas de diferente color”. Por lo tanto, P ( E ) = C 8 , 1 · C 3 , 1 · C 9 , 1 C 20 , 3 = 18 95 . 6. Para calcular la probabilidad pedida, dado que las bolas se extraen una a una y sin reemplazamiento, debemos definir un nuevo espacio muestral en el que se tenga en cuenta el orden de extracci´on. Si nu-meramos las bolas del 1 al 20 (para as´ ı distinguir entre s´ ı a las bolas de un mismo color, al igual que se hizo al comienzo del ejercicio), se tiene que un espacio muestral es: Ω 0 = ‰ w = ( w 1 , w 2 , w 3 ) : w i = 1 , 2 , . . . , 20 i = 1 , 2 , 3 w i 6 = w j para todo i 6 = j . Este espacio es claramente equiprobable, con fl fl fl Ω 0 fl fl fl = V 20 , 3 . Sea el suceso F = “Las tres bolas se extraen en el orden roja, blanca, azul”. Se tiene entonces, dado que hay 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules, que: P ( F ) = 8 · 3 · 9 V 20 , 3 = 3 95 . Obs´ervese que este nuevo espacio muestral Ω 0 podr´ ıa haberse usado desde el comienzo del problema para calcular tambi´ en las probabi- lidades de los cinco primeros apartados. Sin embargo, para ello se recurri´o al espacio muestral Ω, que es mucho m´as sencillo que Ω 0 y no tiene en cuenta el orden de aparici´on de las bolas. No obstante, si se realizaran todos los c´alculos s´olo con este espacio se obtendr´ıa: P ( A ) = V 8 , 3 V 20 , 3 = 14 285 .