Un puente esta construido sobre una estructura con formas parabólicas congruentes como muestra la figura, para ello fue necesario precisar las ecuaciones de las tres parábolas. Si el punto P(5, 0) es de tangencia y la ecuación de la parábola izquierda es x2= -4y, halle la ecuación de la parábola derecha.
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Respuesta:
La ecuación canónica de la parábola de la derecha es (x - 12)² = -12y.
Explicación paso a paso:
Aplicaremos la ecuación canónica de una Parábola de eje vertical:
(x - h)² = ±4p(y - k)
donde:
(h, k) = (0, 0) son las coordenadas del vértice
p es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz
Dado que la parábola de la izquierda tiene ecuación:
x² = -12y
Comparamos con la ecuación anterior y obtenemos:
h = 0 k = 0
-4p = -12 ⇒ p = 3
Las parábolas en el puente son congruentes, lo cual implica que la distancia p en todas ellas es la misma.
Se nos indica que el punto (6, 0) es de tangencia. Nos ubicamos en el sistema de coordenadas y observamos que la parábola que toca el eje x en el punto (6, 0) es la del centro, y lo hace precisamente en el vértice.
Ya que el vértice de la parábola de la izquierda se encuentra en el (0, 0) y el de la parábola del centro se encuentra a 6 unidades a la derecha de éste sobre el eje x; entonces el vértice de la parábola de la derecha debe estar a 6 unidades del vértice de la parábola del centro; es decir, en el punto (12, 0).
La parábola de la derecha tiene vértice en el punto (12, 0), abre hacia abajo y tiene distancia p = 3.
Sustituyendo en la ecuación canónica:
(x - 12)² = -4(3)(y - 0) ⇒ (x - 12)² = -12y
La ecuación canónica de la parábola de la derecha es (x - 12)² = -12y.
Explicación paso a paso: