Un observador de encuentra sobre una escalera y contempla un edificio que se encuentra a 30m de distancia, descubre que el ángulo de la elevación de la parte superior del edificio es de 60° y que el ángulo de depresion de la base del edificio es de 30° ¿Cuál es la altura del edificio?
La altura del edificio observado es de 40√3 metros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo dado de 30-60 es un triángulo notable
Dado que una persona sobre una escalera desde lo alto observa la parte inferior de un edificio con un ángulo de depresión de 30° y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 60°:
Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:
El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual -que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior del edificio -, con un ángulo de depresión de 30°, el lado DB que es una porción de la altura del edificio observado y a la vez coincide con la altura de la escalera - en donde se halla el observador, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, -de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos altura “x”-; y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al edificio y también la distancia horizontal hasta este, en donde este otro cateto- es en este caso el adyacente-, del cual conocemos su valor
El ACD: en donde el lado AC representa la línea visual - que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior del edificio avistado-, con un ángulo de elevación de 60°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura del edificio contemplado -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos altura "y"-; teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia horizontal desde la escalera hasta el edificio
Donde se pide hallar la altura "h" del edificio observado
Halladas las dos alturas “x” e “y” - donde ambas longitudes son los catetos opuestos de cada uno de los triángulos rectángulos-
La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del edificio observado
Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las alturas "x" e "y"
En ABD
Hallamos la altura x - altura de la escalera - que coincide con una porción de la altura del edificio-
Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 30° al punto B para facilitar la situación
Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha = 30^o }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ altura \ x }{distancia \ al \ edificio } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura\ x = distancia \ al \ edificio\ . \ tan(30^o) } }[/tex]
Como tenemos un ángulo notable
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {3 } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura\ x =\ distancia \ al \ edificio . \ \frac{\sqrt{3} }{3} } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura\ x =30\ m\ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura\ x =10\ . \not 3 . \ \frac{\sqrt{3} }{\not3} \ m\ } }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { altura\ x = 10\sqrt{3} \ metros } }[/tex]
Luego la altura x es de 10√3 metros, siendo la altura de la escalera donde se encuentra el observador -que coincide con una porción de la altura del edificio observado-
En ACD
Hallamos la altura y - segunda porción de la altura del edificio avistado -
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β [tex]\bold{\beta = 60^o }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(60^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(60^o)= \frac{ altura \ y }{ distancia \ al\ edificio } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura\ y =distancia \ al \ edificio \ . \ tan(60^o) } }[/tex]
Como tenemos un ángulo notable
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es } \bold {\sqrt{3} }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura\ y =30 \ m\ . \ \sqrt{3} } }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { altura\ y = 30\sqrt{3} \ metros } }[/tex]
Por tanto la altura y es de 30√3 metros, siendo la otra parte de la altura del edificio observado
Hallamos la altura h del edificio observado
[tex]\boxed{\bold { Altura \ Edificio \ (h) = altura \ x\ +\ altura \ y } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { Altura \ Edificio \ (h)=10\sqrt{3} \ m +\ 30\sqrt{3} \ m } }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { Altura \ Edificio \ (h) =40\sqrt{3} \ metros } }[/tex]
[tex]\textsf{Expresado en forma decimal }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { Altura \ Edificio \ (h) =69.28 \ metros } }[/tex]
La altura del edificio observado es de 40√3 metros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio propuesto