Question

Un numero natural se denomina ́ aritm ́etico si cada cifra intermedia es el promedio de las cifras conti-
guas. Por ejemplo, 12345 es un numero aritm ́ etico ya que 2 ́ = 1+3

2
, 3 = 2+4
2
y 4 = 3+5
2
.
a) (Valor 2 puntos.) ¿Cuantos n ́ umeros aritm ́ eticos de tres cifras de la forma ́ a4b existen?
Respuesta:
b) (Valor 4 puntos.) ¿Cuantos n ́ umeros aritm ́ eticos de cuatro cifras de la forma ́ a4bc existen?

Answer 1

Hay un total de 8 números aritméticos de la forma a4b y de la forma a4bc hay un total de 5 números aritméticos

En el ejercicio a tenemos que los números son a4b, entonces para que sea aritmético tenemos que el promedio de a + b debe ser 4, por lo tanto

(a + b)/2 = 4

a + b = 8

Como a y b son enteros entre 0 y 9 (a diferente de cero) tenemos que pueden ser

• a = 1, b = 7
• a = 2, b= 6
• a = 3, b = 5
• a = 4, b = 4
• a = 5, b = 3
• a = 6, b = 2
• a = 7, b = 1
• a = 8, b = 0

Entonces hay 8 casos posibles.

b) Ahora para que a4bc sea un número aritmético tenemos que el promedio de a y b debe ser 4 que vimos en el caso anterior que hay 8 casos posibles, además:

(c + 4)/2 = b

c = 2b - 4

Entonces b debe ser mayor o igual a 2, para que c no sea negativo y para que sea menor o igual a 9 debe ser máximo 6, por lo tanto b puede ser 2, 3, 4, 5 o 6, luego el total de casos son 5 casos