Un médico ha observado que el 13% de sus pacientes sufre de efectos negativos cuando le administra cierto fármaco, a un grupo de 4 pacientes le recetó este medicamento y desea saber la siguiente probabilidad:
a. Que ninguno de ellos tenga efectos negativos
b. Un paciente tenga efectos nocivos
c. Más de uno tengan los efectos nocivos
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a. Que ninguno de ellos tenga efectos negativos
b. Un paciente tenga efectos nocivos
c. Más de uno tengan los efectos nocivos
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Hay una probabilidad de 0,5729 de que ninguno de los 4 pacientes, a los que se les recetó el medicamento, tenga efectos negativos.
Explicación:
Vamos a considerar la variable aleatoria X que es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito. Ella tiene una distribución binomial con parámetros p y n = 1, 2, 3, ...
La Probabilidad de X = x es
[tex]\bold{P(X~=~x)~=~(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~p^x~(1~-~p)^{(n~-~x)}}[/tex]
donde [tex]\bold{(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~=~\dfrac{n!}{(n~-~x)!~x!}}[/tex] es el número combinatorio
En el caso que nos ocupa definimos la variable aleatoria binomial
X = Número de pacientes que sufre efectos negativos en la muestra
p = 0,13 (13%)
n = 4
Respondemos a las interrogantes:
a. Probabilidad que ninguno de ellos tenga efectos negativos
Esto es la probabilidad de x = 0
[tex]\bold{P(x~=~0)~=~(\begin{array}{c}4\\0\end{array})~(0.13)^0~(1~-~0.13)^{(4~-~0)}~=~0,5729}[/tex]
Hay una probabilidad de 0,5729 de que ninguno de los 4 pacientes, a los que se les recetó el medicamento, tenga efectos negativos.
b. Probabilidad que un paciente tenga efectos nocivos
Esto es la probabilidad de x = 1
[tex]\bold{P(x~=~1)~=~(\begin{array}{c}4\\1\end{array})~(0.13)^1~(1~-~0.13)^{(4~-~1)}~=~0,3424}[/tex]
Hay una probabilidad de 0,3424 de que solo uno de los 4 pacientes, a los que se les recetó el medicamento, tenga efectos negativos.
c. Probabilidad de que más de uno tengan los efectos nocivos
Se desea hallar la probabilidad de que x sea mayor que 1; es decir, entre 2 y 4. Por facilidad de cálculo, este tipo de situaciones se plantea en términos del evento complemento; es decir, la probabilidad que x no sea igual a 0 o 1:
[tex]\bold{P(x~>~1)~=~1~-~P(x~\leq~1)~=~1~-~P(x ~=~0)~-~ P(x ~=~1)}[/tex]
Las probabilidades de x = 0 y x = 1 ya se calcularon en los apartados a y b, por tanto, sustituimos en la expresión anterior
[tex]\bold{P(x~>~1)~=~1~-~0,5729~-~0,3424~=~0,0847}[/tex]
Hay una probabilidad de 0.0847 de que más de 1 paciente tenga efectos negativos por la aplicación del medicamento.