Un malabarista lanza hacia arriba tres pelotas, cada una de ellas se desplaza una trayectoria que cumple con la gráfica de una función cuadrática cuya ecuación es: = − 2 + 10 − 16 , donde indica la altura en metros alcanzada por las pelotas al cabo de segundos de transcurrido el lanzamiento. Determina: a) El instante en que la pelota alcanza la altura máxima b) La altura máxima alcanzada c) La Representación gráfica de la situación planteada d) Los puntos en que la parábola corta al eje e) La concavidad o convexidad de la parábola. 2-En lo alto de una torre Juan lanza una flecha cuya trayectoria se describe por medio de una curva, dicha curva está dada por la función = − 2 + 4 − 3 donde indica la altura en metros alcanzada por la flecha al cabo de segundos de transcurrido el lanzamiento. Calcula: a) El instante en que la flecha alcanza la altura máxima b) La altura máxima alcanzada c) La Representación gráfica de la situación planteada d) Los puntos en que la parábola corta al eje e) La concavidad o convexidad de la parábola.
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Respuesta:
F(x)= -12x²-96x+100
1. ¿Cuanto tarda una pelota en alcanzar la altura maxima?
La altura máxima está dada por el valor de la función en el vértice
Para hallar el vértice puedes colocar la función F(x) en la forma
F(x) = a (x - h)^2 + k, donde (h,k) es el vértice de la parábola.
El procedimiento para encontrar esa forma de la parábola es completar cuadrados en la ecuación original. A continuaición lo hago para ti:
ecuación original: F(x) = -12x^2:- 96x + 100
factor común -12 para los primeros dos términos: F(x) = -12(x^2 + 8x) + 100
completa cuadrados de los términos que están entre paréntesis:
F(x) = -12 [ (x + 4)^2 - 16 ] + 100
extrae el término - 16 de los corchetes: F(x) = -12(x+4)^2 + 192 + 100
suma términos semejanes: F(x) = -12(x+4)^2 + 292
De allí, el vértice es (-4, 292), de donde el valor máximo de la función es 292 y el tiempo que le toma es - 4 segundos.
Este resuitado indica que la ecuación dada está equivocada.
Así que deberás rehacer los cálculos con la ecuación correcta.
2. ¿Cual es la altura máxima que alcanza cada pelota?
En la ecuación dada es 292 en la unidad en que esté expresado el enunciado, probablemente centímetros,pero debes rehacer los cálculos con la ecuación correcta.
3.¿Que altura alcanza una pelota transcurridos 2 y 6 segundos desde su lanzamiento?
F(2) = - 12(2^2) - 96(2) + 100 = - 140
F(x) = -12(4)^2 - 96(4) + 100 = -476
Posiblemente la ecuación correcta es -12x^2 + 96x + 100.
Si es así, solo debes seguir el procedimiento indicado con los nuevos valores.
4.Complete la tabla con la altura de cada pelota en cada instante indicado
Tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Altura
Lo que debes hacer es dar valor a x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 en la función F(x) para obtener la altura en cada momento.
5. Grafique la función
Coloca todos los puntos de la tabla en la gráfica y unelos mediante una linea suave.
6. Según la gráfica indique cual es el tiempo de vuelo de cada una de las pelotas
El tiempo de vuelo es desde que x = 0 hasta que la función F(x) se hace cero la segunda vez.
En la ecuación dada por tí se calcula así:
F(x) = -12(x+4)^2 + 292 =0
=> (x+4)^2 = 292/12
=> (x+4)^2 = 24,33
=> (x + 4) = +/- 4,93
=> x = 4,93 - 4 = 0,93
De donde el tiempo de vuelo sería 0,93.
De nuevo, debes hacer ese cálculo con la ecuación correcta.
Explicación paso a paso: