Un granjero tiene listones de madera para 80 metros de cerco, con los que desea construir un
establo rectangular para sus vacas frente a su granero. El granjero intentará que el terreno
cercado tenga el área máxima. ¿Cuál es el modelo matemático para esta situacion y cuáles
son las dimensiones del terreno para que tenga el área máxima?
establo rectangular para sus vacas frente a su granero. El granjero intentará que el terreno
cercado tenga el área máxima. ¿Cuál es el modelo matemático para esta situacion y cuáles
son las dimensiones del terreno para que tenga el área máxima?
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Respuesta:
Entre los rectángulos de perímetro constante el de mayor área es el cuadrado.
Se demuestra así:
Sean x e y los lados del rectángulo.
P = 2 x + 2 y = 2 (x + y) = 80 m; de modo que x + y = 40; y = 40 - x
La superficie es S = x y = x (40 - x) = 40 x - x²
Una función es máxima en los puntos de primera derivada nula y segunda negativa.
S' = 40 - 2 x = 0: de modo que x = 20
S'' = - 2, negativa, corresponde máximo
Si x = 20, y = 20, con lo que nos queda un cuadrado.
Su perímetro es 80 m y la superficie máxima es 400 m²
Explicación paso a paso: