Para resolver este ejercicio, debemos tener en cuenta lo siguiente:
Regla de la Cadena
"Si g es una función derivable en "x" y f otra función derivable en g(x), entonces si tomamos la función F(x)= f(g(x)) (esta es la funcion compuesta), esta será derivable en "x" y su derivada se calcula de la siguiente manera:"
F'(x)= f'(g(x)) ×g'(x)
Regla de la suma / diferencia
"Si f y g son 2 funciones derivables, entonces:"
[f(x) ± g(x)]'= f'(x) ± g'(x)
Regla de la potencia
Sea f(x)= xⁿ ⇒ f'(x)= n×xⁿ⁻¹ n ∈ R
Veamos el ejercicio, tenemos la función:
[tex]f(x)= \sqrt{2bx+ax^{2} }[/tex]
Donde:
a= 3
b= 2
Nos piden calcular el valor de la derivada cuando x=3
Tenemos:
[tex]f(x)= \sqrt{2*2x+3x^{2} }[/tex]
[tex]f(x)= \sqrt{4x+3x^{2} }[/tex]
Podemos expresar la raíz como una potencia, nos queda:
[tex]f(x)= (4x+3x^{2} )^{\frac{1}{2} }[/tex]
Sea u= 4x + 3x² , entonces [tex]f(x)= u^{\frac{1}{2} }[/tex]
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Hola, aquí va la respuesta
Reglas de Derivación
Para resolver este ejercicio, debemos tener en cuenta lo siguiente:
Regla de la Cadena
"Si g es una función derivable en "x" y f otra función derivable en g(x), entonces si tomamos la función F(x)= f(g(x)) (esta es la funcion compuesta), esta será derivable en "x" y su derivada se calcula de la siguiente manera:"
F'(x)= f'(g(x)) ×g'(x)
Regla de la suma / diferencia
"Si f y g son 2 funciones derivables, entonces:"
[f(x) ± g(x)]'= f'(x) ± g'(x)
Regla de la potencia
Sea f(x)= xⁿ ⇒ f'(x)= n×xⁿ⁻¹ n ∈ R
Veamos el ejercicio, tenemos la función:
[tex]f(x)= \sqrt{2bx+ax^{2} }[/tex]
Donde:
a= 3
b= 2
Nos piden calcular el valor de la derivada cuando x=3
Tenemos:
[tex]f(x)= \sqrt{2*2x+3x^{2} }[/tex]
[tex]f(x)= \sqrt{4x+3x^{2} }[/tex]
Podemos expresar la raíz como una potencia, nos queda:
[tex]f(x)= (4x+3x^{2} )^{\frac{1}{2} }[/tex]
Sea u= 4x + 3x² , entonces [tex]f(x)= u^{\frac{1}{2} }[/tex]
Por regla de la cadena:
[tex]f'(x)= [(u)^{\frac{1}{2} }]' *(u)'[/tex]
[tex]f'(x)= [(u)^{\frac{1}{2} } ]'*(4x+3x^{2} )'[/tex]
Aplicamos regla de la potencia y regla de una suma
[tex]f'(x)= \frac{1}{2} *(u^{\frac{1}{2} -1}) *[(4x)' + (3x^{2} )'][/tex]
[tex]f'(x)= \frac{1}{2} *(u^{-\frac{1}{2} } )*[(4x^{1-1} )+(3*2x^{2-1} )][/tex]
[tex]f'(x)= [\frac{1}{2} *\frac{1}{\sqrt{u} }] *[4+(6x)][/tex]
[tex]f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{4x+3x^{2} } } *(4 + 6x)[/tex]
[tex]f'(x)= \frac{2}{\sqrt{4x+3x^{2} } } +\frac{3x}{\sqrt{4x+3x^{2} } }[/tex]
[tex]f'(x)= \frac{2+3x}{\sqrt{4x+3x^{2} } }[/tex]
Ya tenemos la función derivada, ahora debemos ver su valor para cuando x= 3
[tex]f'(3)= \frac{2+3(3)}{\sqrt{4*(3)+3(3)^{2} } }[/tex]
[tex]f'(3)= \frac{11}{\sqrt{12+27} }[/tex]
[tex]f'(3)= \frac{11}{\sqrt{39} }[/tex]
[tex]f'(3)= \frac{11\sqrt{39} }{39}[/tex] Solución
Te dejo un ejercicio similar
Saludoss