Un depósito de líquido caliente se coloca en un congelador que se mantiene a una temperatura constante de 25 °F. La temperatura inicial del líquido es 150 °F. Después de 10 minutos, la temperatura del líquido es 90 °F. ¿Cuánto será la temperatura después de 20 minutos?
Después de 20 minutos el líquido se habrá enfriado a 58.8° F aproximadamente.
Explicación:
Si D₀ es la diferencia de temperatura inicial entre un objeto y sus alrededores, y si sus alrededores tienen temperatura A, entonces la temperatura del objeto T en el tiempo t se modela mediante la función:
[tex]\bold{T_{(t)}~=~A~+~D_{0}\cdot e^{k\cdot t}}[/tex]
donde k es una constante que depende del tipo de objeto.
El enunciado anterior corresponde a la llamada Ley de Enfriamiento de Newton, y la vamos a aplicar para responder la situación planteada.
Vamos a sustituir los datos aportados en el modelo matemático de la Ley de Enfriamiento de Newton para conocer el valor de las constantes en el modelo y obtener el modelo de simulación de la temperatura del líquido:
Inicialmente, t = 0, el líquido tiene una temperatura de T(0) = 150° F y se lleva a un congelador que tiene una temperatura de A = 25° F, entonces
[tex]\bold{150~=~25~+~D_{0}\cdot e^{k\cdot(0)}\qquad\Rightarrow\qquad D_{0}~=~125}[/tex]
Hallamos el valor de k, sabiendo que después de 10 minutos, T(10), el líquido está a 90° F. Sustituimos en el modelo
[tex]\bold{90~=~25~+~125\cdot e^{k\cdot(10)}\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{90~-~25}{125}~=~\cdot e^{k\cdot(10)}\qquad\Rightarrow}[/tex]
[tex]\bold{Ln(\dfrac{13}{25})~=~k\cdot(10)\qquad\Rightarrow\qquad k~=~(\dfrac{1}{10}\cdot Ln(\dfrac{13}{25})}[/tex]
El modelo de simulación de la temperatura del líquido es:
[tex]\bold{T_{(t)}~=~25~+~125\cdot e^{(\dfrac{t}{10}\cdot Ln(\dfrac{13}{25})}}[/tex]
Respondamos la interrogante:
[tex]\bold{T_{(20)}~=~25~+~125\cdot e^{(\dfrac{20}{10}\cdot Ln(\dfrac{13}{25})}~\approx~58.8^{o}~F}[/tex]
Después de 20 minutos el líquido se habrá enfriado a 58.8° F aproximadamente.