Un depósito de líquido caliente se coloca en un congelador que se mantiene a una temperatura constante de 25 °F. La temperatura inicial del líquido es 150 °F. Después de 10 minutos, la temperatura del líquido es 90 °F. ¿Cuánto será la temperatura después de 20 minutos?
La tempera después de los 20 minutos será de 58.8 °F
Se sabe por la ley de enfriamiento de Newton que:
[tex]\dfrac{dT}{dt} = k(T-T_m)[/tex]
Donde:
Podemos reacomodar y resolver usando el método de variables separables:
[tex]\dfrac{dT}{T-T_m} = k\cdot dt[/tex]
Integrando:
[tex]{\displaystyle \int\dfrac{dT}{T-T_m} = \int k\cdot dt}[/tex]
[tex]\ln (T-T_m) = kt + c_1[/tex]
[tex]T-T_m = e^{kt+c_1}[/tex]
[tex]T-T_m = e^{kt}e^{c_1}\text{\ \ \ \ si llamamos $C=e^{c_1}$ }[/tex]
[tex]T-T_m = Ce^{kt}[/tex]
[tex]\boxed{T(t)=T_m + Ce^{kt}}[/tex]
Hallemos entonces las constantes analizando los datos iniciales. Tenemos:
Por tanto sabiendo que T(0) = 150 °F hallamos C:
[tex]150=25 + Ce^{k\cdot 0}[/tex]
[tex]150=25 + C[/tex]
[tex]C = 125[/tex]
Sabiendo que T(10) = 90 °F hallamos k:
[tex]90 = 25+125e^{10k}[/tex]
[tex]65= 125e^{10k}[/tex]
[tex]0.52 = e^{10k}[/tex]
[tex]10k = \ln 0.52[/tex]
[tex]k = \dfrac{\ln 0.52}{10}[/tex]
[tex]k = -0.065392647[/tex]
Finalmente calculamos la temperatura a los 20 min sustituyendo t=20:
[tex]T(t)=25 + 125e^{-0.065392647t}[/tex]
[tex]T(20)=25 + 125e^{-0.065392647\cdot 20}[/tex]
[tex]\boxed{T(20) = 58.8\ ^\circ F}[/tex]
R/ La tempera después de los 20 minutos será de 58.8 °F