Un carpintero puede producir libreros de un mismo tipo a un costo de 50 soles la unidad. Si los vende a k soles cada uno, estima que podrá vender 120 - k libreros al mes. La ganancia mensual del carpintero depende del precio de venta de los libreros. Calcule el precio de venta de cada librero si la ganancia es máxima.
Respuesta:
16.200 soles
Explicación paso a paso:La función que determina las unidades vendidas es v = 480 -2X
Los ingresos por ventas se obtienen por el producto del precio/unidad por las unidades vendidas : V = Xsoles(480 -2X)
Y el costo de esas unidades vendidas sería C = 60soles(480 -2X)
Entonces el beneficio será : Ventas - Costo
Beneficio = Xsoles(480 -2X) - 60soles(480 -2X) = (X-60)(480 -2X)soles
Esta función tiene dos puntos donde el beneficio es cero.
Cuando X = 60 y cuando X = 240 , esto significa que vendiendo menos de 60 unidades o más de 240 unidades habría pérdidas, lo que se puede visualizar en el gráfico que acompaña la respuesta.
Beneficio = 480X -28.800 -2X² +120X = -2X² + 600X -28.800 soles
Si queremos calcular el máximo beneficio tenemos que igualar a cero la primera derivada de la función que determina el beneficio en función de las unidades vendidas. VER GRÁFICO
Beneficio = 2X² + 600X -28.800 soles
Derivamos esta función y la igualamos a cero
Beneficio' = -4X +600 = 0
-4X = -600
X = -600/-4 = 150 unidades vendidas para un beneficio máximo.
También lo vemos en el gráfico de la función: en el punto (150, 16200) la tangente a la curva es horizontal porque hay un máximo de beneficios.
Aplicando estas unidades vendidas a la función que determina el beneficio, comprobamos el beneficio máximo que ya aparece en ese punto de la curva:
Beneficio = -2X² + 600X -28.800
Beneficio = -2(150)² + 600·150 -28.800
Beneficio = (-45.000 + 90.000 - 28.800)soles = 16.200 soles