Un agricultor en Lurín tiene 100 metros de malla metálica, con la cual quiere cercar un terreno de cultivo de zanahorias de forma rectangular. Un lado del terreno colinda con un muro del vecino. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno y cuál es el área máxima? ¿Qué forma tiene el terreno? Graficar la parábola en el plano cartesiano.
Con el dibujo del plano please
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Respuesta:
1 lado de Largo: 500 metros. 2 Lados del ancho, cada uno 250 metros
Explicación paso a paso:
Para este problema de optimización vamos a usar la derivada
Se dispone de 1000 metros. Es un terreno rectangular, al lado opuesto al río lo consideramos el largo del terreno y lo denominaremos Y. A los otros lados los consideramos el ancho y los denominamos X a cada uno de ellos.
Como sólo cercaremos 3 lados, tenemos
2X + Y = 1000 (1)
El área del rectángulo es Largo x Ancho, entonces A = X*Y_(2)
Despejamos Y en (1) para trabajar con
una sola variable
Y= 1000 2X
Sustituimos Y en (2)
A=X*(1000-2X)
A=1000X-2X^{2}A=1000X-2X
2
Por tratarse de área máxima, usamos la derivada. Tenemos una función:
A'_{(X)]=1000-2(2X)^{2-1}A
(X)
=1000-2(2x)
2-1
V
A'_{(X)]=1000-4XA
(X)
=1000-4X
Ahora igualamos a cero:
0=1000-4X
Pasamos -4X al otro lado, a sumar
0+4X = 1000
4X=1000
X=1000/4
X= 250. Hemos encontrado la raíz
Para encontrar el máximo usamos la segunda derivada del área:
A"_{(X)}=0-4--4A
(X)
=0-4--4
Dio menor que cero, es decir se trata de
un máximo
A"_{(250)}=-4A
(250)
=-4
Tenemos un máximo. Vamos a la fórmula inicial y sustituimos:
A=X*(1000-2X)
A=250(1000-2*250)
A=250(1000-500)
A=250(500)
A= 125000m2
Para obtener las dimensiones de la
cerca:
125000 (250 x L)
L=125000/250
L=500
La cerca debe tener de largo 500 y de ancho (c/u de los lados) 250 m
Si el largo mide 500 y cada uno de los otros dos lados miden 250, el total son 500+500 = 1000 metros, que son los que el ganadero tiene de malla ciclónica
Saludos