Un agricultor debe cercar en forma rectangular un pedazo de un terreno. Para ello compró 6.000 metros de alambre de púas que debe disponer en seis lineas.
¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno a cercar para que su área sea máxima?
¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno a cercar para que su área sea máxima?
Las dimensiones del terreno para que el área sea la máxima son: 250 m de largo y 250 m de ancho
6000 metros de alambre, que dispone en 6 lineas
Quiere decir que el perímetro del rectángulo es de 6000/6 = 1000 metros
Área de un rectángulo
Amax= xy
x: ancho
y: largo
Perímetro del rectángulo
P = 2x + 2y = 1000
Despejamos y en función de x
2y = 1000 - 2x
y = 500 - x
Sustituimos y en la ecuación del Amax
Amax = x(500-x)
Amax = -x² + 500x
Tenemos el Amax dependiendo de solo del ancho del rectángulo
Derivamos Amax para conseguir el valor x para que el área sea la máxima
Amax' = -2x + 500 = 0
Despejamos x
-2x + 500 = 0
x= -500/-2 = 250
Aplicamos la segunda derivada para verificar que x es un valor máximo
Amax''= -2
Como es un valor negativo, implica que el valor de x calculado si es un máximo
entonces sustituimos X en Y
Y = 500 - 250 = 250 m
Amax = 250*250 = 62500 m²
x = 250 m
y = 250m