Udział w grze kosztuje 8 zł. Gra polega na trzykrotnym rzucie monetą. Jesli wypadnie dokładnie jeden orzeł, to gracz otrzymuje wypłatę w wysokości 20 zł. W przypadku, gdy orzeł nie wypadnie ani razu, wypłata wynosi 12 zł. W pozostałych przypadkach grający nie otrzymuje żadnej wypłaty.
a) wykaż, że gra nie jest sprawiedliwa
b) jesli powinien być koszt udziału w grze, aby była ona sprawiedliwa?
a) wykaż, że gra nie jest sprawiedliwa
b) jesli powinien być koszt udziału w grze, aby była ona sprawiedliwa?
Odpowiedź:
EX-wartość oczekiwana
[tex]EX=x_1p_1+x_2p_2+...x_np_n[/tex]
Gra jest sprawiedliwa wtedy gdy EX=0.
a)
[tex]x_1=20-8=12\\\displaystyle p_1=\frac{3}{8} \\x_2=12-8=4\\p_2=\frac{1}{8} \\x_3=-8\\p_3=1-\left(\frac{3}{8} +\frac{1}{8} \right)=\frac{1}{2} \\EX=12\cdot\frac{3}{8} +4\cdot\frac{1}{8} -8\cdot\frac{1}{2} =1[/tex]
Gra nie jest sprawiedliwa ponieważ EX≠0 , jest korzystna dla grającego.
b)
[tex]EX=0\\\displaystyle \frac{3}{8} \cdot(20-x)+\frac{1}{8} \cdot(12-x)-\frac{1}{2} x=0\\\frac{60}{8} -\frac{3}{8} x+\frac{12}{8} -\frac{1}{8} x-\frac{1}{2} x=0\\-x=-\frac{72}{8} /\cdot (-1)\\x=9[/tex]
Aby gra była sprawiedliwa, opłata za grę powinna wynosić 9 zł