Question

Udowodnij , ze jeśli funkcja jest rosnąca, to dla dowolnego a € R funkcja g(x)-f(x-a) też jest rosnąca na juzzz

Answer 1

Odpowiedź:

Aby udowodnić, że funkcja g(x) - f(x - a) jest rosnąca, musimy pokazać, że dla dowolnych wartości x1 i x2 takich, że x1 < x2, funkcja ta spełnia warunek:

g(x2) - f(x2 - a) > g(x1) - f(x1 - a)

Wiedząc, że f(x) jest funkcją rosnącą, mamy:

f(x2 - a) > f(x1 - a)

Przekształcając powyższą nierówność, otrzymujemy:

-g(x1) > -g(x2)

Czyli:

g(x2) - g(x1) > f(x2 - a) - f(x1 - a)

Ponieważ funkcja f(x) jest rosnąca, to:

f(x2 - a) - f(x1 - a) > 0

Zatem:

g(x2) - g(x1) > 0

Co oznacza, że funkcja g(x) - f(x - a) jest rosnąca dla dowolnego a € R, pod warunkiem, że funkcja f(x) jest rosnąca.

liczę na naj ;)

Answer 2

Odpowiedź:

Aby udowodnić, że funkcja g(x) - f(x-a) jest rosnąca, należy pokazać, że dla każdej pary x1 i x2, gdzie x1 < x2, wartość g(x2) - f(x2-a) jest większa niż wartość g(x1) - f(x1-a).

Zacznijmy od założenia, że funkcja f(x) jest rosnąca, co oznacza, że dla każdej pary x1 i x2, gdzie x1 < x2, wartość f(x2) jest większa niż wartość f(x1). Teraz, aby pokazać, że g(x) - f(x-a) jest rosnąca, możemy rozważyć dwie sytuacje:

1. g(x) jest rosnąca: W tym przypadku, dla każdej pary x1 i x2, gdzie x1 < x2, wartość g(x2) jest większa niż wartość g(x1).

Dodając do obu stron równania nierówności f(x2-a) otrzymujemy:

g(x2) + f(x2-a) > g(x1) + f(x2-a)

Ponieważ f(x) jest rosnąca, to f(x2-a) > f(x1-a), więc możemy odjąć tę wartość z obu stron, aby uzyskać:

g(x2) - f(x2-a) > g(x1) - f(x1-a)

Zatem dla przypadku, gdy g(x) jest rosnąca, funkcja g(x) - f(x-a) jest również rosnąca.

2. g(x) jest malejąca: W tym przypadku, dla każdej pary x1 i x2, gdzie x1 < x2, wartość g(x2) jest mniejsza niż wartość g(x1).

Dodając do obu stron równania nierówności f(x2-a) otrzymujemy:

g(x2) + f(x2-a) < g(x1) + f(x2-a)

Ponieważ f(x) jest rosnąca, to f(x2-a) > f(x1-a), więc możemy odjąć tę wartość z obu stron, aby uzyskać:

g(x2) - f(x2-a) < g(x1) - f(x1-a)

Widzimy zatem, że g(x) - f(x-a) jest malejąca, a nie rosnąca w tym przypadku.

Z powyższych rozważań wynika, że funkcja g(x) - f(x-a) jest rosnąca tylko wtedy, gdy g(x) jest rosnąca.

Szczegółowe wyjaśnienie: