Question

Udowodnij :







Proszę o pełne rozwiązanie ze wszystkimi przekształceniami, interesuje mnie sposób myślenia w takich zadaniach. Zachęcam do zobaczenia moich innych pytań z matematyki, daje naj.

Answer 1

Verified answer

Założenie:

[tex]b\neq c\ \land\ a^2+b^2=(a+b-c)^2[/tex]

Teza:

[tex]\frac{a^2+(a-c)^2}{b^2+(b-c)^2}=\frac{a-c}{b-c}[/tex]

Dowód:

Zaczniemy od lewej strony równości i przekształcimy ją do prawej strony równości.

Krok 1. W liczniku dodamy i odejmiemy [tex]b^2[/tex], zaś w mianowniku dodamy i odejmiemy [tex]a^2[/tex].

[tex]\frac{a^2+(a-c)^2}{b^2+(b-c)^2}=\frac{a^2+b^2+(a-c)^2-b^2}{a^2+b^2+(b-c)^2-a^2}[/tex]

Krok 2.

Korzystając z założenia, za wyrażenie [tex]a^2+b^2[/tex] podstawimy [tex](a+b-c)^2[/tex]. Jednocześnie skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, aby rozpisać różnice [tex](a-c)^2-b^2[/tex] oraz [tex](b-c)^2-a^2[/tex].

[tex]\frac{a^2+(a-c)^2}{b^2+(b-c)^2}=\frac{a^2+b^2+(a-c)^2-b^2}{a^2+b^2+(b-c)^2-a^2}=\frac{(a+b-c)^2+(a-c-b)(a-c+b)}{(a+b-c)^2+(b-c-a)(b-c+a)}[/tex]

Krok 3.

W liczniku i mianowniku wyciągniemy przed nawias [tex](a+b-c)[/tex].

[tex]\frac{a^2+(a-c)^2}{b^2+(b-c)^2}=\frac{a^2+b^2+(a-c)^2-b^2}{a^2+b^2+(b-c)^2-a^2}=\frac{(a+b-c)^2+(a-c-b)(a-c+b)}{(a+b-c)^2+(b-c-a)(b-c+a)}=\frac{(a+b-c)(a+b-c+a-c-b)}{(a+b-c)(a+b-c+b-c-a)}[/tex]

Krok 4.

Skracamy licznik i mianownik przez pierwszy nawias i porządkujemy wyrażenia w drugich nawiasach.

[tex]\frac{a^2+(a-c)^2}{b^2+(b-c)^2}=\frac{a^2+b^2+(a-c)^2-b^2}{a^2+b^2+(b-c)^2-a^2}=\frac{(a+b-c)^2+(a-c-b)(a-c+b)}{(a+b-c)^2+(b-c-a)(b-c+a)}=\frac{(a+b-c)(a+b-c+a-c-b)}{(a+b-c)(a+b-c+b-c-a)}=\\=\frac{2a-2c}{2b-2c}[/tex]Krok 5.

Skracamy licznik i mianownik przez 2.

[tex]\frac{a^2+(a-c)^2}{b^2+(b-c)^2}=\frac{a^2+b^2+(a-c)^2-b^2}{a^2+b^2+(b-c)^2-a^2}=\frac{(a+b-c)^2+(a-c-b)(a-c+b)}{(a+b-c)^2+(b-c-a)(b-c+a)}=\frac{(a+b-c)(a+b-c+a-c-b)}{(a+b-c)(a+b-c+b-c-a)}=\\=\frac{2a-2c}{2b-2c}=\frac{a-c}{b-c}[/tex]Uzyskaliśmy prawą stronę równości, co kończy dowód.