Question

Udowodnij, że prawdziwa jest nierówność

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Teza :

[tex]\frac{2}{log_{3}10}+\frac{1}{log_{11}10} < log_{8}66[/tex]

Dowód :

Korzystając ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu :

[tex]\frac{1}{log_{b}a } =log_{a}b[/tex] , gdy a,b∈R+/{1}

[tex]L=2 \cdot \frac{1}{log_{3} 10} +\frac{1}{log_{11}10 } =2 \cdot log_{10}3+log_{10}11=log_{10}3^2+log_{10}11=log_{10}9 +log_{10} 11[/tex]

[tex]=log_{10} 9 \cdot 11=log_{10}99 < 2[/tex]

Użyte wzory :

[tex]m \cdot log_{a}b=log_{a} b^m[/tex]

[tex]log_{a}(x \cdot y)=log_{a} x+log_{a} y[/tex]

[tex]P=log_{8} 66=log_{2^3} 66=\frac{1}{3}log_{2}66=\frac{1}{3}log_{2}2 \cdot 33=\frac{1}{3}(log_{2}2+log_{2}33 )=\frac{1}{3} (1+log_{2} 33)[/tex]

Ponieważ :

[tex]log_{2} 33 > log_{2} 32=5[/tex]

to [tex]log_{2} 33 > 5[/tex]

Czyli :

[tex]\frac{1}{3} (1+\underbrace{log_{2}33 }_{ > 5} } } ) > \frac{1}{3} \cdot 6=2[/tex]

C.N.D