Question

Udowodnij, że liczba pierwiastków równania x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 = 0 jest liczbą nieparzystą.

Answer 1

Aby udowodnić, że liczba pierwiastków równania x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 = 0 jest liczbą nieparzystą, można skorzystać z zasady liczb nieparzystych i parzystych pierwiastków równania wielomianowego.

Zasada ta mówi, że suma liczb pierwiastków rzeczywistych równania wielomianowego jest zawsze liczbą parzystą, zaś liczba pierwiastków zespolonych jest liczbą nieparzystą.

Równanie x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 = 0 jest równaniem piątego stopnia, co oznacza, że ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony, ponieważ każde równanie stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek zespolony.

Oznaczmy liczbę pierwiastków rzeczywistych jako n_r oraz liczbę pierwiastków zespolonych jako n_z.

Zgodnie z zasadą liczb nieparzystych i parzystych pierwiastków równania wielomianowego, mamy:

n_r + n_z = liczba pierwiastków równania wielomianowego.

W naszym przypadku równanie ma jeden pierwiastek zespolony, ponieważ jest równaniem piątego stopnia. Skoro równanie ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony, to liczba pierwiastków zespolonych jest liczbą nieparzystą, tj. n_z = 1 (nieparzysta liczba).

Stąd wynika, że liczba pierwiastków rzeczywistych musi być liczbą parzystą, ponieważ suma liczby pierwiastków rzeczywistych i pierwiastków zespolonych jest liczbą parzystą.

Zgodnie z zasadą liczb nieparzystych i parzystych pierwiastków równania wielomianowego, liczba pierwiastków równania x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 = 0 jest sumą liczby pierwiastków rzeczywistych (n_r) i pierwiastków zespolonych (n_z), czyli n_r + n_z.

Zakładając, że n_r jest liczbą parzystą (ponieważ suma liczby pierwiastków rzeczywistych i pierwiastków zespolonych jest liczbą parzystą), oraz n_z = 1 (jako liczba pierwiastków zespolonych), otrzymujemy:

n_r + n_z = liczba pierwiastków równania wielomianowego

n_r + 1 = liczba pierwiastków równania x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 = 0.

Teraz, aby udowodnić, że liczba pierwiastków równania x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 = 0 jest liczbą nieparzystą, wystarczy udowodnić, że liczba pierwiastków rzeczywistych n_r jest liczbą nieparzystą.

Można to zrobić, na przykład, za pomocą rachunku różniczkowego. Wykorzystamy fakt, że jeśli dany wielomian ma liczbę pierwiastków rzeczywistych różną od zera, to na jego wykresie liczba przecięć z osią x jest liczbą nieparzystą.

Równanie x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 = 0 jest wielomianem piątego stopnia, więc oczekujemy, że ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Aby udowodnić, że liczba pierwiastków rzeczywistych jest liczbą nieparzystą, musimy zbadać ilość przecięć wykresu tego wielomianu z osią x.

Pochodna wielomianu x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 jest dana przez:

5x^4 - 12x^2 + 2x.

Możemy zauważyć, że pochodna tego wielomianu jest zawsze nieujemna, ponieważ każdy z trzech składników jest nieujemny (kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, a 5x^4 i 2x są dodatnie dla x różnych od zera). Oznacza to, że funkcja x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 jest niemalejąca na całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Zauważmy również, że dla x = 0, wartość funkcji wynosi 4, czyli jest dodatnia. Skoro funkcja jest niemalejąca i osiąga dodatnie wartości dla x = 0, to nie przecina osi x dla x < 0.

Oznacza to, że na przedziale x < 0 funkcja x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Natomiast dla x > 0, wartość funkcji jest również dodatnia, ponieważ każdy z trzech składników (x^5, -4x^3, x^2) jest nieujemny dla x > 0. Skoro funkcja jest niemalejąca i osiąga dodatnie wartości dla x > 0, to nie przecina osi x na przedziale x > 0.

Oznacza to, że na przedziale x > 0 funkcja x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 również nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Zatem cały wielomian x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 nie ma pierwiastków rzeczywistych na zbiorze liczb rzeczywistych.

Skoro nie ma pierwiastków rzeczywistych na zbiorze liczb rzeczywistych, to liczba pierwiastków równania x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 = 0 jest liczbą nieparzystą, ponieważ jest sumą liczby pierwiastków rzeczywistych (0) i pierwiastków zespolonych (1).

Zatem udowniliśmy, że liczba pierwiastków równania x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 = 0 jest liczbą nieparzystą, ponieważ nie ma pierwiastków rzeczywistych na zbiorze liczb rzeczywistych, ale ma jeden pierwiastek zespolony.

Answer 2

Verified answer

Odpowiedź:

Aby udowodnić, że liczba pierwiastków równania x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 = 0 jest liczbą nieparzystą, można skorzystać z twierdzenia o wartości średniej Cauchy'ego dla funkcji:

f(x) = x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 oraz g(x) = 1.

Zgodnie z twierdzeniem, liczba pierwiastków równania f(x) = 0 w przedziale [a,b] jest równa liczbie punktów przecięcia wykresów funkcji f(x) i g(x) w tym przedziale, przy założeniu, że funkcje f(x) i g(x) są ciągłe i różniczkowalne w tym przedziale, a g(x) jest dodatnia w całym przedziale.

Aby zastosować to twierdzenie, wybierzmy przedział [-2,2], w którym funkcja g(x) jest dodatnia. Obliczmy teraz wartość średnią funkcji f(x) na tym przedziale:

(1/(2-(-2))) * ∫(-2)^2 [x^5 - 4x^3 + x^2 + 4] dx = 6.4/3

Z drugiej strony, wartość średnia funkcji g(x) na tym przedziale wynosi:

(1/(2-(-2))) * ∫(-2)^2 [1] dx = 1

Zauważmy, że wartość średnia funkcji f(x) na przedziale [-2,2] jest większa niż wartość średnia funkcji g(x), co oznacza, że wykresy funkcji f(x) i g(x) przecinają się co najmniej raz w tym przedziale. Zgodnie z twierdzeniem o wartości średniej Cauchy'ego, liczba pierwiastków równania f(x) = 0 na przedziale [-2,2] jest liczbą nieparzystą.

Ponieważ równanie x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 = 0 ma pierwiastki rzeczywiste tylko wtedy, gdy mają one wartości w przedziale [-2,2], a liczba pierwiastków na tym przedziale jest nieparzysta, to liczba pierwiastków równania x^5 - 4x^3 + x^2 + 4 = 0 jest liczbą nieparzystą.

Szczegółowe wyjaśnienie: