Dla [tex]n\in\mathbb{R}[/tex] to oczywiście jest nieprawdą, natomiast można dowieść tego dla [tex]n\in\mathbb{Z}[/tex].
[tex]2n^3-2n=2n(n^2-1)=2(n-1)n(n+1)[/tex]
[tex](n-1)n(n+1)[/tex] jest iloczynem trzech kolejnych liczb całkowitych, a więc jest podzielny przez 2 i 3 (iloczyn [tex]n[/tex] kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez [tex]2,3,\ldots,n[/tex]).
[tex]\text{NWD}(2,3)=1[/tex] zatem iloczyn ten jest również podzielny przez [tex]2\cdot3=6[/tex].
Zatem skoro [tex](n-1)n(n+1)[/tex] jest podzielne przez 6, to [tex]2(n-1)n(n+1)[/tex] jest podzielne przez [tex]2\cdot6=12[/tex].
Dla [tex]n\in\mathbb{R}[/tex] to oczywiście jest nieprawdą, natomiast można dowieść tego dla [tex]n\in\mathbb{Z}[/tex].
[tex]2n^3-2n=2n(n^2-1)=2(n-1)n(n+1)[/tex]
[tex](n-1)n(n+1)[/tex] jest iloczynem trzech kolejnych liczb całkowitych, a więc jest podzielny przez 2 i 3 (iloczyn [tex]n[/tex] kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez [tex]2,3,\ldots,n[/tex]).
[tex]\text{NWD}(2,3)=1[/tex] zatem iloczyn ten jest również podzielny przez [tex]2\cdot3=6[/tex].
Zatem skoro [tex](n-1)n(n+1)[/tex] jest podzielne przez 6, to [tex]2(n-1)n(n+1)[/tex] jest podzielne przez [tex]2\cdot6=12[/tex].