Ubicar el punto o los puntos que disten 1 cm de dos rectas perpendiculares
karolinakopeli
1.- Método C. Puedes determinar la ecuación de la mediatriz de una forma más simple suponiendo que es una recta que pasa por el punto medio de los dos dados y es perpendicular al vector que los une, si denominamos ambos puntos por a(-5, 6) y b(3, 2) y por p(x, y) un punto de cualquiera de la mediatriz, tenemos que el punto medio de a y b es:
m(-1, 4) = (a + b)/2
y la ecuación de la mediatriz viene dada entonces por la condición:
(p - m) · (b - a) = 0
que expresa que ambos vectores son perpendiculares. Substituyendo y simplificando resulta que dicha ecuación es:
(x + 1, y - 4)·(8, -4) = 0 ó lo que es igual 2x - y + 6 = 0
la intersección de esta recta con la dada en el enunciado es la solución al problema, punto que es la solución a su vez del sistema de ecuaciones:
2x - y + 6 = 0 3x + y + 4 = 0
y que se corresponde con solución(-2, 2)
2.- Método B. El lugar geométrico de todos los puntos que distan 3 de la segunda recta es un par de rectas paralelas cuyo eje coincide precisamente con la segunda recta del enunciado, y cuya ecuación viene dada por:
(3x + 4y - 12)²/(3² + 4²) = 3² ó bien (3x + 4y - 12)² = 225
que se desdobla en dos rectas:
3x + 4y - 27 = 0 3x + 4y + 3 = 0
La intersección de cada una de ellas con la primera recta del enunciado se corresponde con cada uno de los puntos buscados:
el primero es solución del sistema de ecuaciones:
3x + 4y - 27 = 0 5x - 12y + 5 = 0
punto1(38/7, 75/28)
el segundo punto buscado es solución del sistema de ecuaciones:
m(-1, 4) = (a + b)/2
y la ecuación de la mediatriz viene dada entonces por la condición:
(p - m) · (b - a) = 0
que expresa que ambos vectores son perpendiculares. Substituyendo y simplificando resulta que dicha ecuación es:
(x + 1, y - 4)·(8, -4) = 0 ó lo que es igual 2x - y + 6 = 0
la intersección de esta recta con la dada en el enunciado es la solución al problema, punto que es la solución a su vez del sistema de ecuaciones:
2x - y + 6 = 0
3x + y + 4 = 0
y que se corresponde con solución(-2, 2)
2.- Método B. El lugar geométrico de todos los puntos que distan 3 de la segunda recta es un par de rectas paralelas cuyo eje coincide precisamente con la segunda recta del enunciado, y cuya ecuación viene dada por:
(3x + 4y - 12)²/(3² + 4²) = 3² ó bien (3x + 4y - 12)² = 225
que se desdobla en dos rectas:
3x + 4y - 27 = 0 3x + 4y + 3 = 0
La intersección de cada una de ellas con la primera recta del enunciado se corresponde con cada uno de los puntos buscados:
el primero es solución del sistema de ecuaciones:
3x + 4y - 27 = 0
5x - 12y + 5 = 0
punto1(38/7, 75/28)
el segundo punto buscado es solución del sistema de ecuaciones:
3x + 4y + 3 = 0
5x - 12y + 5 = 0
punto2(-1, 0)