Question

Tworząca stożka ma długość 26, a wysokość stożka jest dłuższa od średnicy jego podstawy o 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.

Answer 1

Pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka wynoszą kolejno:

[tex]\huge\boxed{P_c=360\pi[j^2],V=800\pi[j^3]}[/tex]

Stożek

Stożek to bryła, która powstaje poprzez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego przyprostokątnych. Jego podstawą jest koło, a powierzchnia boczna po "rozłożeniu" stożka tworzy wycinek koła.

Objętość stożka liczymy ze wzoru:

[tex]V=\dfrac13P_p\cdot H[/tex]

gdzie [tex]P_p[/tex] to pole podstawy stożka liczone ze wzoru [tex]P_p=\pi r^2[/tex] (r - promień podstawy stożka), a H to wysokość bryły.

Pole powierzchni całkowitej stożka wyznaczamy ze wzoru:

[tex]P_c=\pi r(r+l)[/tex]

gdzie l to długość tworzącej stożka (jest to odcinek łączący dowolny punkt znajdujący się na brzegu podstawy z wierzchołkiem stożka).

Rozwiązanie:

Tworząca stożka ma długość l = 26, a wysokość H stożka jest dłuższa od średnicy 2r jego podstawy o 4. Znajdziemy pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.

Potrzebujemy wyznaczyć długość promienia podstawy stożka oraz jego wysokość. Promień podstawy, wysokość stożka i jego tworząca tworzą trójkąt prostokątny. Długość wysokości stożka zgodnie z warunkami zadania możemy zapisać jako:

[tex]H=2r+4[/tex]

Do wyznaczenia długości promienia możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa:

[tex]r^2+(2r+4)^2=26^2\\\\r^2+4r^2+16r+16=676/-676\\\\5r^2+16r-660=0\\\\\Delta=16^2-4\cdot5\cdot(-660)=256+13200=13456\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{13456}=116\\\\r_1=\dfrac{-16-116}{2\cdot5} < 0 \quad - \quad \text{sprzecznosc}\\\\r_2=\dfrac{-16+116}{2\cdot5}=\dfrac{100}{10}=10\\\\H=2\cdot10+4=20+4=24[/tex]

Mamy wszystkie dane potrzebne do obliczenia pola powierzchni całkowitej i objętości stożka:

[tex]P_c=\pi\cdot10\cdot(10+26)=10\pi\cdot36=360\pi\\\\V=\dfrac13\cdot\pi\cdot10^2\cdot24=8\pi\cdot100=800\pi[/tex]