Question

Tworząca stożka ma długość 26, a wysokość stożka jest dłuższa od średnicy jego podstawy o 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{\huge\boxed{~~P_{c}=360\pi ~[j^{2}]~~}}[/tex] [tex]\land[/tex] [tex]\huge\boxed{\huge\boxed{~~V=800\pi ~[j^{3}]~~}}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

                         STOŻEK

• jest to bryła, która powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych.
• jego podstawą jest koło.
• jego przekrojem osiowym  jest trójkąt równoramienny.

Wzór na pole podstawy stożka:  [tex]\boxed{~~P_{p}=\pi r^{2}~~}[/tex]

Wzór na pole powierzchni bocznej stożka:  [tex]\boxed{~~P_{b}=\pi rl~~}[/tex]

Wzór na pole powierzchni całkowitej stożka:  [tex]\boxed{~~P_{c}=\pi r^{2}+\pi rl=\pi r(r+l)~~}[/tex]

Wzór na objętość stożka:  [tex]\boxed{~~V=\dfrac{1}{3} P_{p}H=\dfrac{\pi r^{2} H}{3} ~~}[/tex]

gdzie:

• [tex]r ~~\Rightarrow[/tex]  promień podstawy stożka
• [tex]2r ~~\Rightarrow[/tex]  średnica podstawy stożka
• [tex]l ~~\Rightarrow[/tex]  tworząca stożka, czyli każdy odcinek łączący wierzchołek stożka z punktem leżącym na okręgu będącym brzegiem podstawy.
• [tex]H ~~\Rightarrow[/tex]  wysokość stożka

Korzystamy:

• Twierdzenie Pitagorasa : Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych [tex](a,~b)[/tex] równa jest kwadratowi długości przeciwprostokątnej [tex](c)[/tex] tego trójkąta⇒ rysunek w załączniku.

• [tex]funkcja ~~kwadratowa:~~y=ax^{2} +bx+c,~~a\neq 0~~\land~~b,c\in \mathbb{R}\\\\\Delta=b^{2}-4ac\\\\gdy~~\Delta > 0~~\Rightarrow~~x_{1} =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} ~~\lor~~x_{2} =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}\\\\gdy~~\Delta=0~~\Rightarrow~~x_{o} =\dfrac{-b }{2a}\\\\gdy~~\Delta < 0~~\Rightarrow~~x \in \varnothing[/tex]

Rozwiązanie:

Dane z treści zadania:

• [tex]l=26~[j][/tex]
• [tex]H=(2r+4)~[j]~~\Rightarrow~~[/tex] wysokość stożka jest dłuższa od średnicy jego podstawy o 4.

Szukane:

• [tex]P_{c}=?[/tex]
• [tex]V=?[/tex]

Pamiętamy o założeniach:

• [tex]r~ > ~0[/tex]
• [tex]H~ > ~0[/tex]

rysunek poglądowy   ⇒  w załączniku

• korzystając z Twierdzenia Pitagorasa obliczamy promień podstawy stożka.

[tex](2r+4)^{2}+r^{2}=l^{2}~~\land~~l=26~[j]\\\\(2r+4)^{2}+r^{2}=26^{2}\\\\4r^{2}+16r+16+r^{2}=676\\\\5r^{2}+16r+16=676~~\mid -676\\\\5r^{2}+16r-660=0\\\\a=5,~~b=16,~~c=-660\\\\\Delta=16^{2}-4\cdot 5\cdot (-660)=256+13~200=13~456\\\\\sqrt{\Delta} =116\\\\\left(r_{1}=\dfrac{-16-116}{10} =-13,2~~\lor~~r_{2}=\dfrac{-16+116}{10} =10~~\right)~~\land~~r > 0\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow~\\\\\huge\boxed{~~r=10~[j]~~}[/tex]

• obliczamy wysokość stożka.

[tex]H=(2r+4)~[j]~~\land~~r=10~[j]\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow\\\\\huge\boxed{~~H=24~[j]~~}[/tex]

• obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka.

[tex]P_{p}=\pi r^{2} ~~\land~~r=10~[j]\\\\\boxed{~~P_{p}=100\pi ~[j^{2}]~~}\\\\\\P_{b}=\pi rl~~\land~~r=10~[j]~~\land~~l=26~[j]\\\\\boxed{~~P_{b}=260\pi ~[j^{2}]~~}\\\\\\P_{c}=P_{p}+P_{b}\\\\P_{c}=100\pi ~[j^{2}]+260\pi ~[j^{2}]\\\\\huge\boxed{~~P_{c}=360\pi ~[j^{2}]~~}[/tex]

• obliczamy objętość stożka.

[tex]V=\dfrac{1}{3} P_{p}H~~\land~~P_{p}=100\pi ~[j^{2}]~~\land~~H=24~[j]\\\\\\V=\dfrac{1}{3\!\!\!\!\diagup_1}\cdot 100\pi ~[j^{2}] \cdot 24\!\!\!\!\!\diagup^8~[j]\\\\\\\huge\boxed{~~V=800\pi ~[j^{3}]~~}[/tex]