[tex]k=0\Longrightarrow x=\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}\ \vee\ x=\frac{\pi}{3}-\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}\\\\k=1\Longrightarrow x=\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}+\frac{2\pi}{3}\ \vee\ x=\pi-\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}\\\\x\in\left\{\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2},\frac{\pi}{3}-\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2},\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}+\frac{2\pi}{3},\pi-\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}\right\}[/tex]P.S. Tu wyszły wyniki z arcsinus. Jeśli nie było ich jeszcze na lekcji, to albo jedt błąd w zadaniu. albo coś źle przepisałem.
Równanie 1.
[tex]\sin x-\sin7x=\cos 4x\qquad x\in\left < 0,\pi\right > \\\\\sin x-\sin7x-\cos 4x=0\ |*(-1)\\\\\sin7x-\sin x+\cos 4x=0[/tex]
Ze wzoru na różnicę sinusów:
[tex]2\sin\frac{7x-x}{2}\cos\frac{7x+x}{2}+\cos4x=0\\\\2\sin\frac{6x}{2}\cos\frac{8x}{2}+\cos4x=0\\\\2\sin3x\cos4x+\cos4x=0\\\\\cos4x(2\sin3x+1)=0\\\\\cos4x=0\quad\vee\quad2\sin3x+1=0\\\\\cos4x=0\quad\vee\quad\sin3x=-\frac{1}{2}\\\\4x=\frac{\pi}{2}+k\pi\ |:4\quad\vee\quad3x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\ |:3\quad\vee\quad3x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\ |:3\qquad k\in\mathbb{Z}\\\\x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}\quad\vee\quad x=-\frac{\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}\quad\vee\quad x=-\frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}\qquad k\in\mathbb{Z}[/tex]
Uwzględniając podany przedział, mamy:
[tex]k=0\Longrightarrow x=\frac{\pi}{8}\\\\k=1\Longrightarrow x=\frac{3\pi}{8}\ \vee\ x=\frac{11\pi}{18}\ \vee\ x=\frac{7\pi}{18}\\\\k=2\Longrightarrow x=\frac{5\pi}{8}\\\\k=3\Longrightarrow x=\frac{7\pi}{8}\\\\x\in\left\{\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8},\frac{7\pi}{18},\frac{11\pi}{18},\frac{5\pi}{8},\frac{7\pi}{8}\right\}[/tex]
Równanie 2.
[tex]1+\sin x-\cos x=\sin2x-\cos2x\qquad x\in\left < -\pi,\pi\right >[/tex]
Ze wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta:
[tex]1+\sin x-\cos x=2\sin x\cos x-(2\cos^2x-1)\\\\1+\sin x-\cos x=2\sin x\cos x-2\cos^2x+1\\\\\sin x-\cos x-2\sin x\cos x+2\cos^2x=0\\\\(\sin x-\cos x)-2\cos x(\sin x-\cos x)=0\\\\(\sin x-\cos x)(1-2\cos x)=0\\\\\sin x-\cos x=0\quad\vee\quad 1-2\cos x=0\\\\\sin x=\cos x\quad\vee\quad -2\cos x=-1\ |:(-2)\\\\\sin x=\cos x\quad\vee\quad \cos x=\frac{1}{2}[/tex]
Ze wzorów redukcyjnych:
[tex]\sin x=\sin(\frac{\pi}{2}- x)\quad\vee\quad \cos x=\frac{1}{2}\\\\x=\frac{\pi}{2}- x+2k\pi\quad\vee\quad x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\vee\quad x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}\\\\2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ |:2\quad\vee\quad x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\vee\quad x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}\\\\x=\frac{\pi}{4}+k\pi\quad\vee\quad x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\vee\quad x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}[/tex]
Uwzględniając podany przedział, mamy:
[tex]k=-1\Longrightarrow x=-\frac{3\pi}{4}\\\\k=0\Longrightarrow x=\frac{\pi}{4}\ \vee\ x=\frac{\pi}{3}\ \vee\ x=-\frac{\pi}{3}\\\\x\in\left\{-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right\}[/tex]
Równanie 3.
[tex]4-\cos^23x-5\sin3x=0\qquad x\in\left < 0,\pi\right >[/tex]
Z jedynki trygonometrycznej:
[tex]4-(1-\sin^23x)-5\sin3x=0\\\\4-1+\sin^23x-5\sin3x=0\\\\\sin^23x-5\sin3x+3=0\\\\t=\sin3x\in\left < -1,1\right > \\\\t^2-5t+3=0\\\\\Delta=(-5)^2-4*1*3=25-12=13\\\\\sqrt\Delta=\sqrt{13}\\\\t_1=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\\\\t_2=\frac{5+\sqrt{13}}{2}\approx4,3\notin\left < -1,1\right > \quad\text{odrzucam}\\\\\sin3x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\\\\3x=\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}+2k\pi\ |:3\quad\vee\quad 3x=\pi-\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}+2k\pi\ |:3[/tex]
[tex]x=\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}+\frac{2k\pi}{3}\quad\vee\quad x=\frac{\pi}{3}-\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}+\frac{2k\pi}{3}[/tex]
Uwzględniając podany przedział, mamy:
[tex]k=0\Longrightarrow x=\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}\ \vee\ x=\frac{\pi}{3}-\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}\\\\k=1\Longrightarrow x=\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}+\frac{2\pi}{3}\ \vee\ x=\pi-\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}\\\\x\in\left\{\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2},\frac{\pi}{3}-\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2},\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}+\frac{2\pi}{3},\pi-\frac{1}{3}\arcsin\frac{5-\sqrt{13}}{2}\right\}[/tex]P.S. Tu wyszły wyniki z arcsinus. Jeśli nie było ich jeszcze na lekcji, to albo jedt błąd w zadaniu. albo coś źle przepisałem.