Równanie 1.
[tex]\sin2x-\cos 2x=1\qquad x\in\left < -\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right >[/tex]
Ze wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta:
[tex]2\sin x\cos x-(2\cos^2x-1)=1\\2\sin x\cos x-2\cos^2x+1=1\\2\sin x\cos x-2\cos^2x=0\ |:2\\\sin x\cos x-\cos^2x=0\\\cos x(\sin x-\cos x)=0\\\cos x=0\quad\vee\quad \sin x-\cos x=0\\x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\vee\quad \sin x=\cos x\qquad k\in\mathbb{Z}[/tex]
Ze wzorów redukcyjnych:
[tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\vee\quad \sin x=\sin(\frac{\pi}{2}-x)\qquad k\in\mathbb{Z}\\x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\vee\quad x=\frac{\pi}{2}-x+2k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}\\x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\vee\quad 2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ |:2\qquad k\in\mathbb{Z}\\x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\vee\quad x=\frac{\pi}{4}+k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}[/tex]
Uwzględniając podany przedział, mamy:
[tex]k=-1\Longrightarrow x=-\frac{\pi}{2}\\k=0\Longrightarrow x=\frac{\pi}{2}\ \vee\ x=\frac{\pi}{4}\\k=1\Longrightarrow x=\frac{3\pi}{2}\ \vee\ x=\frac{5\pi}{4}\\x\in\left\{-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right\}[/tex]
Równanie 2.
[tex]\sin3x+\sin 9x=0\qquad x\in\left < 0,\pi}\right > \\\\\sin9x+\sin 3x=0\\[/tex]
Ze wzoru na sumę sinusów:
[tex]2\sin\frac{9x+3x}{2}\cos\frac{9x-3x}{2}=0\\2\sin\frac{12x}{2}\cos\frac{6x}{2}=0\\2\sin6x\cos3x=0\ |:2\\\sin6x\cos3x=0\\\sin6x=0\quad\vee\quad\cos3x=0\\6x=k\pi\ |:6\quad\vee\quad3x=\frac{\pi}{2}+k\pi\ |:3\qquad k\in\mathbb{Z}\\x=\frac{k\pi}{6}\quad\vee\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\qquad k\in\mathbb{Z}[/tex]
[tex]k=0\Longrightarrow x=0\ \vee\ x=\frac{\pi}{6}\\k=1\Longrightarrow x=\frac{\pi}{6}\ \vee\ x=\frac{\pi}{2}\\k=2\Longrightarrow x=\frac{\pi}{3}\ \vee\ x=\frac{5\pi}{6}\\k=3\Longrightarrow x=\frac{\pi}{2}\\k=4\Longrightarrow x=\frac{2\pi}{3}\\k=5\Longrightarrow x=\frac{5\pi}{6}\\k=6\Longrightarrow x=\pi\\x\in\left\{0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6},\pi\right\}[/tex]
Równanie 3.
[tex](4\sin^2x-1)\sin x=\cos^2x-3\sin^2x\qquad x\in\left < -\pi,0}\right >[/tex]
Z jedynki trygonometrycznej:
[tex](4\sin^2x-1)\sin x=1-\sin^2x-3\sin^2x\\(4\sin^2x-1)\sin x=1-4\sin^2x\\(4\sin^2x-1)\sin x+4\sin^2x-1=0\\(4\sin^2x-1)(\sin x+1)=0\\4\sin^2x-1=0\quad\vee\quad \sin x+1=0\\4\sin^2x=1\ |:4\quad\vee\quad \sin x=-1\\\sin^2x=\frac{1}{4}\quad\vee\quad \sin x=-1\\\sin x=\frac{1}{2}\quad\vee\quad\sin x=-\frac{1}{2}\quad\vee\quad \sin x=-1\\x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\ \vee\\ \vee\ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}[/tex]
[tex]k=0\Longrightarrow x=-\frac{\pi}{6}\ \vee\ x=-\frac{5\pi}{6}\ \vee\ x=-\frac{\pi}{2}\\x\in\left\{-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}\right\}[/tex]
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
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Równanie 1.
[tex]\sin2x-\cos 2x=1\qquad x\in\left < -\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right >[/tex]
Ze wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta:
[tex]2\sin x\cos x-(2\cos^2x-1)=1\\2\sin x\cos x-2\cos^2x+1=1\\2\sin x\cos x-2\cos^2x=0\ |:2\\\sin x\cos x-\cos^2x=0\\\cos x(\sin x-\cos x)=0\\\cos x=0\quad\vee\quad \sin x-\cos x=0\\x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\vee\quad \sin x=\cos x\qquad k\in\mathbb{Z}[/tex]
Ze wzorów redukcyjnych:
[tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\vee\quad \sin x=\sin(\frac{\pi}{2}-x)\qquad k\in\mathbb{Z}\\x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\vee\quad x=\frac{\pi}{2}-x+2k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}\\x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\vee\quad 2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ |:2\qquad k\in\mathbb{Z}\\x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\vee\quad x=\frac{\pi}{4}+k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}[/tex]
Uwzględniając podany przedział, mamy:
[tex]k=-1\Longrightarrow x=-\frac{\pi}{2}\\k=0\Longrightarrow x=\frac{\pi}{2}\ \vee\ x=\frac{\pi}{4}\\k=1\Longrightarrow x=\frac{3\pi}{2}\ \vee\ x=\frac{5\pi}{4}\\x\in\left\{-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right\}[/tex]
Równanie 2.
[tex]\sin3x+\sin 9x=0\qquad x\in\left < 0,\pi}\right > \\\\\sin9x+\sin 3x=0\\[/tex]
Ze wzoru na sumę sinusów:
[tex]2\sin\frac{9x+3x}{2}\cos\frac{9x-3x}{2}=0\\2\sin\frac{12x}{2}\cos\frac{6x}{2}=0\\2\sin6x\cos3x=0\ |:2\\\sin6x\cos3x=0\\\sin6x=0\quad\vee\quad\cos3x=0\\6x=k\pi\ |:6\quad\vee\quad3x=\frac{\pi}{2}+k\pi\ |:3\qquad k\in\mathbb{Z}\\x=\frac{k\pi}{6}\quad\vee\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\qquad k\in\mathbb{Z}[/tex]
Uwzględniając podany przedział, mamy:
[tex]k=0\Longrightarrow x=0\ \vee\ x=\frac{\pi}{6}\\k=1\Longrightarrow x=\frac{\pi}{6}\ \vee\ x=\frac{\pi}{2}\\k=2\Longrightarrow x=\frac{\pi}{3}\ \vee\ x=\frac{5\pi}{6}\\k=3\Longrightarrow x=\frac{\pi}{2}\\k=4\Longrightarrow x=\frac{2\pi}{3}\\k=5\Longrightarrow x=\frac{5\pi}{6}\\k=6\Longrightarrow x=\pi\\x\in\left\{0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6},\pi\right\}[/tex]
Równanie 3.
[tex](4\sin^2x-1)\sin x=\cos^2x-3\sin^2x\qquad x\in\left < -\pi,0}\right >[/tex]
Z jedynki trygonometrycznej:
[tex](4\sin^2x-1)\sin x=1-\sin^2x-3\sin^2x\\(4\sin^2x-1)\sin x=1-4\sin^2x\\(4\sin^2x-1)\sin x+4\sin^2x-1=0\\(4\sin^2x-1)(\sin x+1)=0\\4\sin^2x-1=0\quad\vee\quad \sin x+1=0\\4\sin^2x=1\ |:4\quad\vee\quad \sin x=-1\\\sin^2x=\frac{1}{4}\quad\vee\quad \sin x=-1\\\sin x=\frac{1}{2}\quad\vee\quad\sin x=-\frac{1}{2}\quad\vee\quad \sin x=-1\\x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\ \vee\\ \vee\ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}[/tex]
Uwzględniając podany przedział, mamy:
[tex]k=0\Longrightarrow x=-\frac{\pi}{6}\ \vee\ x=-\frac{5\pi}{6}\ \vee\ x=-\frac{\pi}{2}\\x\in\left\{-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}\right\}[/tex]