Question

Trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych 2 i 7 jest podobny do trójkąta KLM w skali k=3 , jakie jest pole trójkąta KLM?

Answer 1

Odpowiedź: [tex]\frac{7}{9}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Skala k=3 mówi nam o podobieństwie trójkątów - w praktyce oznacza to, że trójkąt ABC ma 3 razy dłuższe boki od trójkąta KLM i posiada takie same miary kątów. Przy odczytywaniu skali ważne jest zwrócenie uwagi który trójkąt porównujemy do którego, ponieważ trójkąt ABC jest podobny do trójkąta KLM w skali [tex]k=3\\[/tex], ale już trójkąt ABC jest podobny do trójkąta KLM w skali [tex]k'=\frac{1}{3}[/tex].

Zatem stosunek boków trójkąta ABC do boków trójkąta KLM wynosi k=3.

Prawdziwe jest stwierdzenie, że stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta KLM wynosi [tex]k^2=3^2=9[/tex], czyli pole trójkąta ABC jest 9 razy większe od pola trójkąta KLM, ale zakładam, że ta zależność jeszcze nie pojawiła się na zależność.

Obliczymy zatem długości boków trójkąta KLM i z nich obliczymy pole.

Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych o długościach a, b obliczamy ze wzoru:

[tex]P = \frac{ab}{2}[/tex]

Na szczęście znamy długości przyprostokątnych trójkąta ABC. Wiemy również, że przyprostokątne trójkąta KLM są 3 razy krótsze, zatem obliczmy je:

[tex]a=2 * \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\\b=7*\frac{1}{3}=\frac{7}{3}[/tex]

I podstawmy do wzoru:

[tex]P=\frac{ab}{2}=\frac{\frac{2}{3}*\frac{7}{3}}{2}=\frac{14}{9*2}=\frac{7}{9}[/tex]