Trawnik ma kształt trójkąta równoramiennego o podstawie 80 m i ramionach długości 50 m. Z powierzchni trawnika postanowiono wydzielić prostokątny plac zabaw w ten sposób, że dwa z wierzchołków tego prostokąta leżą na podstawie, a pozostałe dwa na ramionach trójkąta ograniczającego trawnik .
Oblicz a i b aby pole było największe
Oblicz a i b aby pole było największe
Niech wierzchołki prostokąta będą oznaczone jako A, B, C, D, przy czym A i B leżą na podstawie trójkąta, a C i D na ramionach trójkąta.
Niech punkt A będzie położony na podstawie trójkąta w odległości a od wierzchołka trójkąta, a punkt B w odległości b od wierzchołka przeciwległego do wierzchołka, w którym leży punkt A.
Wówczas punkt C musi leżeć na jednym z ramion trójkąta, a punkt D na drugim ramieniu.
Niech d będzie odległością punktu C od wierzchołka trójkąta, a e odległością punktu D od wierzchołka przeciwległego do wierzchołka, w którym leży punkt C.
Zauważmy, że pole wydzielonego placu zabaw wynosi iloczyn długości boku prostokąta AB oraz odległości CD.
Zatem pole wydzielonego placu zabaw wynosi:
S = b * (d + e)
Aby znaleźć a i b, dla których pole wydzielonego placu zabaw jest największe, należy wyznaczyć równania ograniczeń.
Z ograniczeń wynika, że:
a + b ≤ 80 (długość podstawy trójkąta)
d + e ≤ 50 (długość ramion trójkąta)
Aby maksymalizować pole, należy znaleźć wartości a, b, d, e, które spełniają powyższe nierówności i maksymalizują iloczyn b * (d + e).
Można to zrobić na kilka sposobów, np. metodą Lagrange'a lub przez wykorzystanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną. Ja zastosuję tę drugą metodę.
Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną wynika, że:
(a + b)/2 ≤ 40
(d + e)/2 ≤ 25
Można zauważyć, że iloczyn b * (d + e) jest wprost proporcjonalny do b i do d+e, a zatem do ich średniej geometrycznej.
Z równania na średnią geometryczną wynika, że:
sqrt(b*(d+e)) ≤ (b + d + e)/2
Stąd wynika, że:
b*(d+e) ≤ (b + d + e)^2/4
Maksimum ilocz