Como una transformación activa, R hace girar el vector inicial v, y se obtiene un nuevo vector v'. Para una rotación en sentido antihorario de v con respecto al sistema de coordenadas fijo:
Si uno ve {R e1 , R e2 } como una nueva base, entonces las coordenadas del nuevo vector v'en la base original son los mismos que los de v en la nueva base. Debe tenerse en cuenta que las transformaciones activas tienen sentido, incluso como una transformación lineal en un espacio vectorial diferente. Tiene sentido para escribir el nuevo vector en la base sin imprimación (como anteriormente) solo cuando la transformación es desde el espacio en sí mismo.
Transformación pasiva
Por otro lado, cuando se ve R como una transformación pasiva, el vector inicial v se deja sin cambios, mientras que el sistema de coordenadas y sus vectores base se giran. Con el fin de que el vector se mantenga fijo, las coordenadas en términos de la nueva base deben cambiar. Para un giro hacia la izquierda de los sistemas de coordenadas:
Por lo tanto, para que el vector se mantenga sin cambios por la transformación pasiva, las coordenadas del vector deben transformarse de acuerdo con la inversa del operador de transformación activa.4
Como una transformación activa, R hace girar el vector inicial v, y se obtiene un nuevo vector v'. Para una rotación en sentido antihorario de v con respecto al sistema de coordenadas fijo:
{\displaystyle {\vec {v}}'=R{\vec {v}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{pmatrix}}.}Si uno ve {R e1 , R e2 } como una nueva base, entonces las coordenadas del nuevo vector v'en la base original son los mismos que los de v en la nueva base. Debe tenerse en cuenta que las transformaciones activas tienen sentido, incluso como una transformación lineal en un espacio vectorial diferente. Tiene sentido para escribir el nuevo vector en la base sin imprimación (como anteriormente) solo cuando la transformación es desde el espacio en sí mismo.
Transformación pasivaPor otro lado, cuando se ve R como una transformación pasiva, el vector inicial v se deja sin cambios, mientras que el sistema de coordenadas y sus vectores base se giran. Con el fin de que el vector se mantenga fijo, las coordenadas en términos de la nueva base deben cambiar. Para un giro hacia la izquierda de los sistemas de coordenadas:
{\displaystyle \mathbf {v} =v^{a}\mathbf {e} _{a}=v'^{a}R\mathbf {e} _{a}.}De esta ecuación se ve que las nuevas coordenadas (es decir, las coordenadas con respecto a la nueva base) son dadas por
{\displaystyle v'^{a}=(R^{-1})_{b}^{a}v^{b}}así que esto se puede escribir como
{\displaystyle \mathbf {v} =v'^{a}\mathbf {e} '_{a}=v^{b}(R^{-1})_{b}^{a}R_{a}^{c}\mathbf {e} _{c}=v^{b}\delta _{b}^{c}\mathbf {e} _{c}=v^{b}\mathbf {e} _{b}.}Por lo tanto, para que el vector se mantenga sin cambios por la transformación pasiva, las coordenadas del vector deben transformarse de acuerdo con la inversa del operador de transformación activa.4