Question

tolong step by step!​

Answer 1

[tex]\begin{aligned}&\textsf{Diketahui }f(x)=\sqrt[3]{x+2}-2\ {\sf dan\ }\\&g(x)=x-1.\ \textsf{Nilai dari }(f\circ g)^{-1}(a)=7\\&{\sf maka\ }a=\boxed{\bf0}\ .\end{aligned}[/tex]
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Komposisi dan Invers Fungsi

Diketahui:

[tex]\begin{aligned}\bullet\ &f(x)=\sqrt[3]{x+2}-2\\\bullet\ &g(x)=x-1\\\bullet\ &(f\circ g)^{-1}(a)=7\end{aligned}[/tex]

Ditanyakan:

Nilai [tex]a[/tex] = ...?

Penyelesaian:

CARA I
(Cara Singkat dengan Pemahaman)

Kita tentukan [tex](f\circ g)(x)[/tex] terlebih dahulu.

[tex]\begin{aligned}(f\circ g)(x)&=f\left(g(x)\right)\\&=\sqrt[3]{g(x)+2}-2\\&=\sqrt[3]{(x-1)+2}-2\\\therefore\ (f\circ g)(x)&=\sqrt[3]{x+1}-2\\\end{aligned}[/tex]

Ingat bahwa jika [tex]f(a) = c[/tex], maka [tex]f^{-1}(c)=a[/tex]. Begitu pula sebaliknya, jika [tex]f^{-1}(a)=c[/tex], maka [tex]f(c) = a[/tex].

Oleh karena itu, jika [tex](f\circ g)^{-1}(a)=7[/tex], maka [tex](f\circ g)(7)=a[/tex].

Sehingga, nilai [tex]a[/tex] adalah:

[tex]\begin{aligned}a&=(f\circ g)(7)\\&=\sqrt[3]{7+1}-2\\&=\sqrt[3]{8}-2\\&=2-2\\\therefore\ a&=\boxed{\bf0}\end{aligned}[/tex]
__________________

CARA II
(Langkahnya cukup panjang, lebih baik memahami konsep invers fungsi sehingga kita bisa menerapkan cara pertama di atas.)

Dari cara pertama, kita telah memperoleh:
[tex](f\circ g)(x)=\sqrt[3]{x+1}-2[/tex]

Kita tentukan inversnya.

[tex]\begin{aligned}(f\circ g)(x)=y&=\sqrt[3]{x+1}-2\\\sqrt[3]{x+1}&=y+2\\\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^3&=(y+2)^3\\x+1&=y^3+3\cdot2\cdot y^2+3\cdot y\cdot2^2+2^3\\x+1&=y^3+6y^2+12y+8\\x&=y^3+6y^2+12y+7\\\therefore\ (f\circ g)^{-1}(x)&=x^3+6x^2+12x+7\end{aligned}[/tex]

Karena [tex](f\circ g)^{-1}(a)=7[/tex], maka:

[tex]\begin{aligned}a^3+6a^2+12a+7&=7\\a^3+6a^2+12a&=0\\a\left(a^2+6a+12\right)&=0\\a={\bf0}\ \lor\ a^2+6a+12&=0\end{aligned}[/tex]

Hasil tersebut sudah cukup untuk memilih a = 0, karena persamaan kuadrat [tex]a^2+6a+12=0[/tex] memiliki nilai diskriminan < 0 sehingga akar-akarnya imajiner.
__________________

CARA III
(Panjang juga)

Perhatikan bahwa:
[tex]\begin{aligned}(f\circ g)^{-1}(x)&=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)(x)\end{aligned}[/tex]

Untuk invers dari fungsi g(x):

[tex]g^{-1}(x)=x+1[/tex]

Untuk invers dari fungsi f(x):

[tex]\begin{aligned}f(x)=y&=\sqrt[3]{x+2}-2\\\sqrt[3]{x+2}&=y+2\\x+2&=(y+2)^3\\x&=(y+2)^3-2\\&=y^3+6y^2+12y+8-2\\&=y^3+6y^2+12y+6\\\therefore\ f^{-1}(x)&=x^3+6x^2+12x+6\end{aligned}[/tex]

Maka:

[tex]\begin{aligned}(f\circ g)^{-1}(x)&=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)(x)\\&=g^{-1}\left(f^{-1}(x)\right)\\&=f^{-1}(x)+1\\&=x^3+6x^2+12x+6+1\\\therefore\ (f\circ g)^{-1}(x)&=x^3+6x^2+12x+7\\\end{aligned}[/tex]

Setelah itu, kita terapkan langkah mencari nilai [tex]a[/tex] seperti pada cara kedua di atas, sehingga kita peroleh: a = 0.