(1) Untuk menentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi tersebut, kita perlu menggunakan aturan rantai dan aturan turunan fungsi-fungsi dasar.
a) \( f(x) = (2x^2 - 7)^4 \)
Untuk menghitung turunan pertama dari fungsi ini, kita dapat menggunakan aturan rantai. Turunan dari fungsi dalam tanda kurung pangkat 4 adalah \( 4(2x^2 - 7)^3 \), dan turunan dari \( 2x^2 - 7 \) adalah \( 4x \). Jadi, turunan pertama dari \( f(x) \) adalah:
Turunan pertama dari fungsi ini dapat dihitung menggunakan aturan rantai. Turunan dari \( 5 - x^2 \) adalah -2x, dan turunan dari \( (5 - x^2)^6 \) adalah \( 6(5 - x^2)^5 \). Jadi, turunan pertama dari \( y \) terhadap \( x \) adalah:
Turunan pertama dari fungsi ini dapat dihitung menggunakan aturan rantai. Turunan dari \(\sin(2x^4 + 5)\) adalah \(\cos(2x^4 + 5)\) dan turunan dari \(\ln(u)\) adalah \(\frac{1}{u} \cdot u'\). Jadi, turunan pertama dari \(y\) terhadap \(x\) adalah:
Turunan pertama dari fungsi ini dapat dihitung menggunakan aturan rantai. Turunan dari \(\cos(3x - 9)\) adalah \(-\sin(3x - 9)\) dan turunan dari \(\ln(u)\) adalah \(\frac{1}{u} \cdot u'\). Jadi, turunan pertama dari \(f(x)\) adalah:
(2) Untuk mencari turunan parsial \( \frac{df(x, y)}{dx} \) dari \( f(x, y) = 5x^2y^3 + 2x^4y^2 - 7x^2 \), kita turunkan fungsi ini terhadap variabel \( x \) dengan memperlakukan \( y \) sebagai konstanta. Jadi, turunan parsialnya adalah:
(3) Untuk mencari turunan parsial \( \frac{df(x, y)}{dy} \) dari \( f(x, y) = 17x^6y^5 + x^3y^5 \), kita turunkan fungsi ini terhadap variabel \( y \) dengan memperlakukan \( x \) sebagai konstanta. Jadi, turunan parsialnya adalah:
\( \frac{df(x, y)}{dy} = 85x^6y^4 + 5x^3y^4 \)
(4) Untuk mencari jumlah hari \( x \) yang menghasilkan biaya minimum, kita perlu mencari titik stasioner dari fungsi biaya. Untuk mencapai biaya minimum, turunan pertama fungsi biaya harus sama dengan nol.
Biaya proyek: \( C(x) = 3x - 900 + \frac{120}{x
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Tentukan turunan pertama dari fungsi biaya \( C(x) \) terhadap \( x \):
\( C'(x) = 3 - \frac{120}{x^2} \)
Setelah mendapatkan turunan pertama, kita cari titik stasioner dengan menyamakan turunan pertama dengan nol:
\( C'(x) = 0 \)
\( 3 - \frac{120}{x^2} = 0 \)
Kemudian, kita selesaikan persamaan tersebut untuk mencari nilai \( x \):
\( \frac{120}{x^2} = 3 \)
\( 120 = 3x^2 \)
\( x^2 = \frac{120}{3} \)
\( x^2 = 40 \)
\( x = \sqrt{40} \)
\( x = 2\sqrt{10} \)
Jadi, untuk mencapai biaya minimum, proyek harus diselesaikan dalam \( 2\sqrt{10} \) hari.
Jawaban:
(1) Untuk menentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi tersebut, kita perlu menggunakan aturan rantai dan aturan turunan fungsi-fungsi dasar.
a) \( f(x) = (2x^2 - 7)^4 \)
Untuk menghitung turunan pertama dari fungsi ini, kita dapat menggunakan aturan rantai. Turunan dari fungsi dalam tanda kurung pangkat 4 adalah \( 4(2x^2 - 7)^3 \), dan turunan dari \( 2x^2 - 7 \) adalah \( 4x \). Jadi, turunan pertama dari \( f(x) \) adalah:
\( f'(x) = 4(2x^2 - 7)^3 \cdot 4x = 16x(2x^2 - 7)^3 \)
b) \( y = 3(5 - x^2)^6 \)
Turunan pertama dari fungsi ini dapat dihitung menggunakan aturan rantai. Turunan dari \( 5 - x^2 \) adalah -2x, dan turunan dari \( (5 - x^2)^6 \) adalah \( 6(5 - x^2)^5 \). Jadi, turunan pertama dari \( y \) terhadap \( x \) adalah:
\( \frac{dy}{dx} = 3 \cdot 6(5 - x^2)^5 \cdot (-2x) = -36x(5 - x^2)^5 \)
c) \( y = \ln[\sin(2x^4 + 5)] \)
Turunan pertama dari fungsi ini dapat dihitung menggunakan aturan rantai. Turunan dari \(\sin(2x^4 + 5)\) adalah \(\cos(2x^4 + 5)\) dan turunan dari \(\ln(u)\) adalah \(\frac{1}{u} \cdot u'\). Jadi, turunan pertama dari \(y\) terhadap \(x\) adalah:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin(2x^4 + 5)} \cdot \cos(2x^4 + 5) \cdot (8x^3) = \frac{8x^3 \cos(2x^4 + 5)}{\sin(2x^4 + 5)} \)
d) \( f(x) = \ln[\cos(3x - 9)] \)
Turunan pertama dari fungsi ini dapat dihitung menggunakan aturan rantai. Turunan dari \(\cos(3x - 9)\) adalah \(-\sin(3x - 9)\) dan turunan dari \(\ln(u)\) adalah \(\frac{1}{u} \cdot u'\). Jadi, turunan pertama dari \(f(x)\) adalah:
\( f'(x) = \frac{1}{\cos(3x - 9)} \cdot (-\sin(3x - 9)) \cdot 3 = -\frac{3\sin(3x - 9)}{\cos(3x - 9)} \)
(2) Untuk mencari turunan parsial \( \frac{df(x, y)}{dx} \) dari \( f(x, y) = 5x^2y^3 + 2x^4y^2 - 7x^2 \), kita turunkan fungsi ini terhadap variabel \( x \) dengan memperlakukan \( y \) sebagai konstanta. Jadi, turunan parsialnya adalah:
\( \frac{df(x, y)}{dx} = 10xy^3 + 8x^3y^2 - 14x \)
(3) Untuk mencari turunan parsial \( \frac{df(x, y)}{dy} \) dari \( f(x, y) = 17x^6y^5 + x^3y^5 \), kita turunkan fungsi ini terhadap variabel \( y \) dengan memperlakukan \( x \) sebagai konstanta. Jadi, turunan parsialnya adalah:
\( \frac{df(x, y)}{dy} = 85x^6y^4 + 5x^3y^4 \)
(4) Untuk mencari jumlah hari \( x \) yang menghasilkan biaya minimum, kita perlu mencari titik stasioner dari fungsi biaya. Untuk mencapai biaya minimum, turunan pertama fungsi biaya harus sama dengan nol.
Biaya proyek: \( C(x) = 3x - 900 + \frac{120}{x
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Tentukan turunan pertama dari fungsi biaya \( C(x) \) terhadap \( x \):
\( C'(x) = 3 - \frac{120}{x^2} \)
Setelah mendapatkan turunan pertama, kita cari titik stasioner dengan menyamakan turunan pertama dengan nol:
\( C'(x) = 0 \)
\( 3 - \frac{120}{x^2} = 0 \)
Kemudian, kita selesaikan persamaan tersebut untuk mencari nilai \( x \):
\( \frac{120}{x^2} = 3 \)
\( 120 = 3x^2 \)
\( x^2 = \frac{120}{3} \)
\( x^2 = 40 \)
\( x = \sqrt{40} \)
\( x = 2\sqrt{10} \)
Jadi, untuk mencapai biaya minimum, proyek harus diselesaikan dalam \( 2\sqrt{10} \) hari.
jadikan jawaban terbaik yaa