[tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex], dan [tex]\vec{c}[/tex] BEBAS LINIER.
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Vektor: Hubungan Bebas Linier
Salah satu cara untuk menentukan apakah beberapa vektor dalam sebuah himpunan vektor saling bebas linier atau tidak, adalah dengan menyusun sistem persamaan homogen dari vektor-vektor tersebut di mana setiap persamaannya bernilai 0. Jika semua variabel ditemukan bernilai 0, maka vektor-vektor tersebut bebas linier.
Matriks [tex]M[/tex] bukan matriks persegi. Oleh karena itu, kita tidak bisa menentukan kebebaslinieran ketiga vektor di atas dengan metode determinan.
Kita gunakan metode OBE agar menghasilkan matrix eselon baris. Tidak perlu menggunakan matriks lengkap (augmented matrix) karena ruas kanan sama dengan 0.
Sampai sini sudah cukup, karena kita sudah menemukan nilai [tex]m_3[/tex] dari baris ke-3. Jika dilanjutkan, kita dapat membuat semua elemen pada baris ke-4 menjadi bernilai 0, karena terdapat baris ke-2 yang 1 kolomnya nol, dan baris ke-3 yang 2 kolomnya 0.
Verified answer
[tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex], dan [tex]\vec{c}[/tex] BEBAS LINIER.
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Vektor: Hubungan Bebas Linier
Salah satu cara untuk menentukan apakah beberapa vektor dalam sebuah himpunan vektor saling bebas linier atau tidak, adalah dengan menyusun sistem persamaan homogen dari vektor-vektor tersebut di mana setiap persamaannya bernilai 0. Jika semua variabel ditemukan bernilai 0, maka vektor-vektor tersebut bebas linier.
Diketahui:
3 vektor berada pada R^4:
[tex]\begin{aligned}\bullet\ &\vec{a}=\left(3,\,2,\,1,\,-3\right)\\\bullet\ &\vec{b}=\left(4,\,2,\,1,\,-2\right)\\\bullet\ &\vec{c}=\left(2,\,1,\,3,\,-1\right)\\\end{aligned}[/tex]
Ditanyakan:
Apakah [tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex], dan [tex]\vec{c}[/tex] bebas / tidak bebas linier?
Penyelesaian
Ambil [tex]m_1[/tex], [tex]m_2[/tex], dan [tex]m_3[/tex] sehingga:
[tex]\begin{aligned}m_1\vec{a}+m_2\vec{b}+m_3\vec{c}=0\end{aligned}[/tex]
Kita selesaikan dan periksa, jika [tex]m_1=m_2=m_3=0[/tex], maka [tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex], dan [tex]\vec{c}[/tex] bebas linier.
Agar lebih mudah melihatnya, kita ubah notasi vektor di atas menjadi vektor kolom. ("lebih mudah" ini hanya pendapat personal dari saya saja.)
[tex]\begin{aligned}&m_1\begin{pmatrix}3\\2\\1\\-3\end{pmatrix}+m_2\begin{pmatrix}4\\2\\1\\-2\end{pmatrix}+m_3\begin{pmatrix}2\\1\\3\\-1\end{pmatrix}=0\\&\Rightarrow \begin{cases}3m_1+4m_2+2m_3\!\!&=0\\2m_1+2m_2+m_3&=0\\m_1+m_2+3m_3&=0\\-3m_1-m_2-m_3\!\!&=0\\\end{cases}\\&\Rightarrow \textsf{Matriks koefisien}:\\&\qquad M=\begin{pmatrix}3&4&2\\ 2&2&1\\ 1&1&3\\ -3&-1&-1\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]
Matriks [tex]M[/tex] bukan matriks persegi. Oleh karena itu, kita tidak bisa menentukan kebebaslinieran ketiga vektor di atas dengan metode determinan.
Kita gunakan metode OBE agar menghasilkan matrix eselon baris. Tidak perlu menggunakan matriks lengkap (augmented matrix) karena ruas kanan sama dengan 0.
[tex]\begin{aligned}&\begin{pmatrix}3&4&2\\ 2&2&1\\ 1&1&3\\ -3&-1&-1\end{pmatrix}\\&\textsf{---------------------------------------------------------}\\&\begin{array}{r}\vphantom{\Big|}R_2-\frac{2}{3}R_1\to R_2\\R_3-\frac{1}{3}R_1\to R_3\end{array}\Rightarrow\begin{pmatrix}3&4&2\\ 0&-2/3&-1/3\\ 0&-1/3&7/3\\ -3&-1&-1\end{pmatrix}\\&\textsf{---------------------------------------------------------}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&\begin{array}{r}R_4+R_1\to R_4\end{array}\Rightarrow\begin{pmatrix}3&4&2\\ 0&-2/3&-1/3\\ 0&-1/3&7/3\\ 0&3&2\end{pmatrix}\\&\textsf{---------------------------------------------------------}\\&\begin{array}{r}R_3+\frac{1}{3}R_4\to R_3\end{array}\Rightarrow\begin{pmatrix}3&4&2\\ 0&-2/3&-1/3\\ 0&0&3\\ 0&3&2\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]
Sampai sini sudah cukup, karena kita sudah menemukan nilai [tex]m_3[/tex] dari baris ke-3. Jika dilanjutkan, kita dapat membuat semua elemen pada baris ke-4 menjadi bernilai 0, karena terdapat baris ke-2 yang 1 kolomnya nol, dan baris ke-3 yang 2 kolomnya 0.
Dari baris ke-3:
[tex]3m_3=0\implies m_3=\bf0[/tex]
Untuk baris ke-2:
[tex]\begin{aligned}&-\frac{2}{3}m_2-\frac{1}{3}m_3=0\\&\Rightarrow -\frac{2}{3}m_2=0\\&\Rightarrow m_2=\bf0\\\end{aligned}[/tex]
Untuk baris ke-4, serupa dengan baris ke-2.
[tex]\begin{aligned}&3m_2+2m_3=0\\&\Rightarrow 3m_2=0\\&\Rightarrow m_2=\bf0\\\end{aligned}[/tex]
Untuk baris ke-1:
[tex]\begin{aligned}&3m_1+4m_2+2m_3=0\\&\Rightarrow 3m_1=0\\&\Rightarrow m_1=\bf0\end{aligned}[/tex]
Maka, sistem persamaan homogen di atas memiliki solusi tunggal, yaitu [tex]m_1=m_2=m_3=\bf0[/tex].
∴ Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa:
[tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex], dan [tex]\vec{c}[/tex] bebas linier.
[tex]\blacksquare[/tex]