tentukan 2 angka terakhir dari[tex] {21}^{2014} [/tex]tolong dibantu ya kak.... Question from @adindanuragin9

2 angka terakhir dari $21^{2014}$ adalah 81.

Pembahasan

Teori Bilangan

Permasalahan: menentukan 2 angka terakhir dari $21^{2014}$

Cara pertama

$\begin{aligned}21^{2014}&=\underbrace{21\times21\times{\dots}\times21}_{\begin{array}{c}2014\sf\ kali\end{array}}\end{aligned}$

2 angka terakhir adalah angka puluhan dan satuan.

Angka satuan = 1 karena $\bf1^n$ = 1.

Untuk angka puluhan, berbeda caranya.

Sebagai ilustrasi:

21² = 21 × 21 = 21 + 420
⇒ angka puluhan = 4
21³ = 441 × 21 = 441 + 8820
⇒ angka puluhan = 6
21⁴ = 9261 × 21 = 9261 + 185220
⇒ angka puluhan = 8

Jadi, polanya adalah pola barisan aritmetika bilangan genap, yaitu 2, 4, 6, 8, 0, lalu kembali lagi ke pola pertama. ⇒ 5 pola berulang

Karena 2014 adalah 1 kurangnya dari 5, maka pola ke-2014 adalah pola ke-4, yaitu 8, dan ini adalah angka puluhan yang kita cari.

∴ Jadi, 2 angka terakhir dari $\bf21^{2014}$ adalah 81.

Cara kedua: aritmetika modular

2 angka terakhir dari sebuah bilangan adalah sisa pembagian bilangan tersebut oleh 100.

Maka, 2 angka terakhir dari $21^{2014}$ adalah nilai dari $21^{2014}\!\mod100$ .
(Harap bersabar untuk cara ini. Ada yang lebih singkat, namun saya menggunakan cara paling dasar dalam aritmetika modular.)

$\begin{aligned}&21^{2014}\ (\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&\left(21^2\right)^{1007}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&4\underline{41}^{1007}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&41^{1007}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&41^{1006}\times41&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&\left(41^2\right)^{503}\times41&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&16\underline{81}^{503}\times41&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&81^{503}\times41&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&81^{502}\times81\times41&(\!\!\!\!\mod100)\end{aligned}$
$\begin{aligned}{\equiv\ }&\left(81^2\right)^{251}\times33\underline{21}\:\:&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&65\underline{61}^{251}\times21&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&61^{251}\times21&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&61^{250}\times61\times21&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&\left(61^2\right)^{125}\times12\underline{81}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&37\underline{21}^{125}\times81&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&21^{125}\times81&(\!\!\!\!\mod100)\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}{\equiv\ }&21^{124}\times21\times81\ \ &(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&\left(21^2\right)^{62}\times17\underline{01}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&4\underline{41}^{62}\times1&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&41^{62}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&\left(41^2\right)^{30}\times41^2&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&16\underline{81}^{30}\times16\underline{81}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&81^{30}\times81&(\!\!\!\!\mod100)\end{aligned}$
$\begin{aligned}{\equiv\ }&\left(81^2\right)^{15}\times81\ \ \ \ \ &(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&65\underline{61}^{15}\times81&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&61^{15}\times81&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&61^{14}\times61\times81&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&\left(61^2\right)^{7}\times49\underline{41}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&37\underline{21}^{7}\times41&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&21^{7}\times41&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&21^{6}\times21\times41&(\!\!\!\!\mod100)\end{aligned}$
$\begin{aligned}{\equiv\ }&\left(21^2\right)^{3}\times8\underline{61}\quad\ \,&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&4\underline{41}^{3}\times61&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&41^{3}\times61&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&41^{2}\times41\times61&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&16\underline{81}\times25\underline{01}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&81\times1&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&\boxed{\ \bf81\ }&(\!\!\!\!\mod100)\\\end{aligned}$