tentukan angka satuan daria.[tex] {2}^{2002} \: \times \: {4}^{2004} \: \times \: {6}^{2006} [/tex]b.... Question from @adindanuragin9

saintman

Ketentuannya

Kalo sisa 1 = 2

Kalo sisa 2 = 4

Kalo sisa 3 = 8

Kalo sisa 0 = 6

Satuan angkanya adalah

Nomor satu

= 2²⁰⁰² × 4²⁰⁰⁴ × 6²⁰⁰⁶

= 2²⁰⁰² × 2⁴⁰⁰⁸ × 6²⁰⁰⁶

= 2⁶⁰¹⁰ × 6²⁰⁰⁶

= 6.010 ÷ 4 × 2.006 ÷ 1

= 1.502 sisa 2 × 2.006 sisa 0

= 4 × 6

= 24 angka satuannya 4

Nomor dua

= 2²⁰⁰⁵ × 2²⁰⁰⁶ × 2²⁰⁰⁷

= 2⁶⁰¹⁸

= 6018 ÷ 4

= 1.504 sisa 2

= berarti angka satuannya 4

Maaf Kalo Salah

1 votes Thanks 2

henriyulianto

Soal a
Angka satuan dari $2^{2002}\times4^{2004}\times6^{2006}$ adalah 4.

Soal b
Angka satuan dari $2^{2005}\times2^{2006}\times2^{2007}$ adalah 4.

Pembahasan

Teori Bilangan

Angka satuan dari sebuah bilangan adalah sisa pembagian bilangan tersebut oleh 10. Misalkan $b$ adalah angka satuan dari bilangan $a$ , dalam notasi modulo dapat dinyatakan dengan $a\!\mod10=b$ . Dalam notasi kongruensi modular, hal ini dinyatakan dengan $a\equiv b\ \ (\!\!\!\!\mod10)$ .

Untuk membantu menyelesaikan persoalan, terutama soal a, kita bisa mengingat bahwa angka satuan dari $6^x$ dengan $x\in\mathbb{N}$ adalah 6. Atau dapat dinyatakan dengan $6^x\!\mod10=6$ atau $6^x\equiv 6\ \ (\!\!\!\!\mod10)$ .

PENYELESAIAN

Soal a

Menentukan angka satuan dari:

$2^{2002}\times4^{2004}\times6^{2006}$

Cara pertama: dengan pola bilangan

$2^x$ memiliki pola angka satuan 2, 4, 8, 6. Sehingga, angka satuan dari $2^{2002}$ sama dengan pola ke- $2002$ . Karena $2002 = 4\times500 + \bf2$ , maka pola ke- $2002$ sama dengan pola ke- $2$ .
∴ Oleh karena itu, angka satuan dari $2^{2002}$ adalah 4.

Untuk $4^{2004}$ , dapat kita olah menjadi
$\begin{aligned}4^{2004}&=4^{2002}\times4^2\\&=\left(2^2\right)^{2002}\times16\\&=\left(2^{2002}\right)^2\times16\\\end{aligned}$
Kita sudah tahu bahwa angka satuan dari $2^{2002}$ adalah 4, sehingga angka satuan dari $\left(2^{2002}\right)^2$ adalah angka satuan dari $4^2$ yaitu 6.
∴ Oleh karena itu, angka satuan dari $4^{2004}$ adalah angka satuan dari $6\times16$ , yaitu 6.

Untuk $6^{2006}$ , jelas bahwa angka satuannya adalah 6.

Jadi, angka satuan yang ditanyakan adalah angka satuan dari $4\times6\times6$ , atau $4\times6^2$ . Karena angka satuan dari $6^2$ adalah 6, maka:

∴ Angka satuan dari $2^{2002}\times4^{2004}\times6^{2006}$ adalah angka satuan dari $4\times6$ , yaitu 4.

Cara kedua: dengan notasi kongruensi modular:

$\begin{aligned}&2^{2002}\times4^{2004}\times6^{2006}\\{\equiv\ }&2^{2002}\times2^{4008}\times6^{2006}&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&2^{2002+4008}\times6&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&2^{2002\times3+4}\times6&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&\left(2^{2002}\right)^3\times2^4\times6&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&\left(\left(2^4\right)^{500}\times2^2\right)^3\times6\times6&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&\left(16^{500}\times2^2\right)^3\times6^2&(\!\!\!\!\mod10)\end{aligned}$
$\begin{aligned}{\equiv\ }&\left(6\times4\right)^3\times6&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&6^3\times4^3\times6&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&6\times4\times6&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&6\times4&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&24&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&\boxed{\ \bf4\ }&(\!\!\!\!\mod10)\\\end{aligned}$

Soal b

Menentukan angka satuan dari:

$2^{2005}\times2^{2006}\times2^{2007}$

Kita manfaatkan hasil soal a di atas, yaitu angka satuan dari $2^{2002}$ adalah 4, atau dalam notasi kongruensi:

$2^{2002}\equiv4\ \ (\!\!\!\!\mod10)$ .

Cara pertama

$2^{2005}=2^{2002+3}=2^{2002}\times2^3$
Maka, angka satuan dari $2^{2005}$ adalah angka satuan dari $4\times8$ , yaitu 2.

$2^{2006}=2^{2002+4}=2^{2002}\times2^4$
Maka, angka satuan dari $2^{2006}$ adalah angka satuan dari $4\times16$ , yaitu 4.

$2^{2007}=2^{2002+5}=2^{2002}\times2^5$
Maka, angka satuan dari $2^{2007}$ adalah angka satuan dari $4\times32$ , yaitu 8.

∴ Jadi, angka satuan dari $2^{2005}\times2^{2006}\times2^{2007}$ adalah angka satuan dari $2\times4\times8$ , yaitu 4.

Cara kedua: dengan notasi kongruensi modular:

$\begin{aligned}&2^{2005}\times2^{2006}\times2^{2007}\\{\equiv\ }&2^{2002+3+2002+4+2002+5}&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&2^{2002\times3+12}&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&2^{2002\times3+6\times2}&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&\left(2^{2002}\right)^3\times\left(2^6\right)^2&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&4^3\times4^2&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&4\times6&(\!\!\!\!\mod10)\\{\equiv\ }&\boxed{\ \bf4\ }&(\!\!\!\!\mod10)\\\end{aligned}$

5 votes Thanks 7

GazooRacing03 waw² rapi sekali

henriyulianto kalau nggak rapi, dimarahin emak kak

GazooRacing03 :v hehe bisa aja kk

Pembahasan

Teori Bilangan

PENYELESAIAN

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social