Q. :-:::[tex] \\ [/tex][tex] \tt \: d( {x}^{2} - 3x + 2 \cos x) = ...[/tex][tex] \\ [/tex][tex] \tt .... Question from @Nelsyasj

May 2022 1 16 Report

Q. :-:::
[tex] \\ [/tex]
[tex] \tt \: d( {x}^{2} - 3x + 2 \cos x) = ...[/tex]
[tex] \\ [/tex]
[tex] \tt \: a. \: 2xdx - 3dx - 2 \sin xdx[/tex]
[tex] \tt \: b. \: 2xdx - 3dx + 2\sin xdx[/tex]
[tex] \tt \: c. \: 2xd(2x) - 3dx - 2 \sin xdx[/tex]
[tex] \tt \: d. \: 2xd( 2x ) - 3dx + 2 \sin xdx[/tex]
[tex] \\ [/tex]
RULES ✏ :
[tex] \\ [/tex]
➪ Sertakan Cara-!
➪ No Ngasal-!
➪ No Copas-!
➪ Rapi.
[tex] \\ [/tex]
Thx .-.

henriyulianto

$\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\ \begin{aligned}&d\left(x^{2}-3x+2\cos x\right)\\&=\bf2x\;\!dx\:-\:3\;\!dx\:-\:2\sin x\;\!dx\end{aligned}\ }\end{aligned}$}$

(opsi a)

Pembahasan

Turunan dan Persamaan Diferensial

$\begin{aligned}&d\left(x^{2}-3x+2\cos x\right)\\&\quad\left[\ \begin{aligned}&f(x)=x^{2}-3x+2\cos x\\&{\Rightarrow\ }\frac{d\left(x^{2}-3x+2\cos x\right)}{dx}\\&{\quad}=\frac{d}{dx}f(x)\\&{\quad}=\frac{d}{dx}\left(x^{2}-3x+2\cos x\right)\\&{\quad}=\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)-\frac{d}{dx}(3x)+\frac{d}{dx}(2\cos x)\\&{\quad}=\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)-3\frac{d}{dx}(x)+2\frac{d}{dx}(\cos x)\\&{\quad}=2x-3+2(-\sin x)\\&{\quad}=2x-3-2\sin x\\\end{aligned}\right.\end{aligned}$

$\begin{aligned}&=\left[\frac{d\left(x^{2}-3x+2\cos x\right)}{dx}\right]dx\\&=\left(2x-3-2\sin x\right)dx\\&=\boxed{\ \bf2x\;\!dx\:-\:3\;\!dx\:-\:2\sin x\;\!dx}\end{aligned}$

_____________________

Tambahan

Aplikasi dari persoalan di atas dapat berguna ketika kita menyelesaikan persamaan diferensial.
Contohnya:

$\begin{aligned}&dy=2x\,dx\:-\:3\,dx\:-\:2\sin x\,dx\\&{\sf Pertanyaan:\ }y=...?\end{aligned}$

Misalkan $y$ adalah sebuah variabel yang nilainya bergantung pada perubahan $x$ .

Maka, dengan membagi kedua ruas dengan $dx$ , kita memperoleh:

$\begin{aligned}\frac{dy}{dx}&=\frac{2x\,dx\:-\:3\,dx\:-\:2\sin x\,dx}{dx}\\\therefore\ \ \frac{dy}{dx}&=2x-3-2\sin x\\\end{aligned}$

dy/dx adalah notasi Leibniz untuk turunan pertama dari $y$ , yaitu $y'$ (notasi Lagrange untuk turunan pertama).

Oleh karena itu:

$\begin{aligned}y'&=\frac{dy}{dx}=2x-3-2\sin x\\\end{aligned}$

Karena y bergantung pada $x$ , maka $y = f(x)$ , sehingga $y' = f'(x)$ .

Sesuai teorema integral, jika $f'(x)=g(x)$ , maka $f(x)=\int g(x)\,dx$ . Maka:

$\begin{aligned}y'&=f'(x)\\\Rightarrow y&=f(x)=\int f'(x)\,dx\\&=\int\left(2x-3-2\sin x\right)dx\\&=\int2x\,dx-\int3\,dx-\int2\sin x\,dx\\&=\frac{2x^2}{2}-\frac{3x}{1}-2(-\cos x)\\&=x^2-3x+2\cos x+C\end{aligned}$