Uzasadnij, że promień okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny o boku a jest równy:
[tex] \frac{a(1 + \sqrt{2}) }{2} [/tex]
Skorzystaj z ośmiokąta foremnego w załączniku.
[tex] \frac{a(1 + \sqrt{2}) }{2} [/tex]
Skorzystaj z ośmiokąta foremnego w załączniku.
Verified answer
Dowodzenie w geometrii.
Dany jest ośmiokąt foremny o boku długości [tex]a[/tex].
Mamy uzasadnić, że promień okręgu wpisanego w ten ośmiokąt jest równy:
[tex]r=\dfrac{a(1+\sqrt2)}{2}[/tex]
Kreślimy rysunek poglądowy.
Widzimy, że dłuższe przekątne ośmiokąta dzielą nam go na 8 przystających trójkątów równoramiennych. Możemy obliczyć miarę kąta środkowego między ramionami jednego z trójkątów:
[tex]\alpha=\dfrac{360^o}{8}=45^o[/tex]
Kreślimy wysokość jednego z trójkątów.
Jako, że trójkąt jest równoramienny, to wysokość opuszczona na podstawę tego trójkąta dzieli ja na pół i kąt między ramionami też dzieli na pół.
Otrzymujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych [tex]\frac{a}{2}[/tex] i [tex]r[/tex] oraz kącie ostrym [tex]\frac{1}{2}\alpha=\frac{45^o}{2}=22,5^o[/tex].
Z definicji funkcji trygonometrycznej tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy związek:
[tex]\text{tg}22,5^o=\dfrac{\frac{a}{2}}{r}=\dfrac{a}{2r}[/tex]
Skorzystamy teraz ze wzoru dostępnego w karcie wzorów na funkcję tangens podwojonego kąta:
[tex]\text{tg}2x=\dfrac{2\text{tg}{x}}{1-\text{tg}^2x}[/tex]
Podstawiamy [tex]x=12,5^o[/tex] otrzymując:
[tex]\text{tg}(2\cdot22,5^o)=\dfrac{2\text{tg}22,5^o}{1-\text{tg}^222,5^o}\\\\\text{tg}45^o=\dfrac{2\text{tg}22,5^o}{1-\text{tg}^222,5^o}[/tex]
Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy wartość [tex]\text{tg}45^o=1[/tex] oraz podstawiamy wcześniej uzyskaną zależność
[tex]\text{tg}22,5^o=\dfrac{a}{2r}[/tex]:
[tex]1=\dfrac{2\!\!\!\!\diagup^1\cdot\frac{a}{2\!\!\!\!\diagup_1r}}{1-\left(\frac{a}{2r}\right)^2}\\\\1=\dfrac{a}{r}:\left(1-\dfrac{a^2}{4r^2}\right)\\\\1=\dfrac{a}{r}:\left(\dfrac{4r^2}{4r^2}-\dfrac{a^2}{4r^2}\right)\\\\1=\dfrac{a}{r}:\dfrac{4r^2-a^2}{4r^2}\\\\1=\dfrac{a}{r\!\!\!\!\diagup_1}\cdot\dfrac{4r^2\!\!\!\!\!\!\diagup^r}{4r^2-a^2}\\\\1=\dfrac{4ar}{4r^2-a^2}\iff4r^2-a^2=4ar\qquad|-4ar\\\\4r^2-4ar-a^2=0[/tex]
Otrzymujemy równanie kwadratowe z parametrem. Rozwiązujemy je za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego:
[tex]\Delta=(-4a)^2-4\cdot4\cdot(-a^2)=16a^2+16a^2=32a^2\\\\\sqrt\Delta=\sqrt{32a^2}=4a\sqrt2\\\\r_1=\dfrac{-(-4a)-4a\sqrt2}{2\cdot4}=\dfrac{4a-4a\sqrt2}{2\cdot4}=\dfrac{a-a\sqrt2}{2} < 0\\\\r_2=\dfrac{-(-4a)+4a\sqrt2}{2\cdot4}=\dfrac{4a+4a\sqrt2}{2\cdot4}=\dfrac{a+a\sqrt2}{2}\\\\\huge\boxed{r=\frac{a+a\sqrt2}{2}}[/tex]■