Question

Uzasadnij, że promień okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny o boku a jest równy:
[tex] \frac{a(1 + \sqrt{2}) }{2} [/tex]
Skorzystaj z ośmiokąta foremnego w załączniku.​

Answer 1

Verified answer

Dowodzenie w geometrii.

Dany jest ośmiokąt foremny o boku długości [tex]a[/tex].

Mamy uzasadnić, że promień okręgu wpisanego w ten ośmiokąt jest równy:

[tex]r=\dfrac{a(1+\sqrt2)}{2}[/tex]

Kreślimy rysunek poglądowy.

Widzimy, że dłuższe przekątne ośmiokąta dzielą nam go na 8 przystających trójkątów równoramiennych. Możemy obliczyć miarę kąta środkowego między ramionami jednego z trójkątów:

[tex]\alpha=\dfrac{360^o}{8}=45^o[/tex]

Kreślimy wysokość jednego z trójkątów.

Jako, że trójkąt jest równoramienny, to wysokość opuszczona na podstawę tego trójkąta dzieli ja na pół i kąt między ramionami też dzieli na pół.

Otrzymujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych [tex]\frac{a}{2}[/tex] i [tex]r[/tex] oraz kącie ostrym [tex]\frac{1}{2}\alpha=\frac{45^o}{2}=22,5^o[/tex].

Z definicji funkcji trygonometrycznej tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy związek:

[tex]\text{tg}22,5^o=\dfrac{\frac{a}{2}}{r}=\dfrac{a}{2r}[/tex]

Skorzystamy teraz ze wzoru dostępnego w karcie wzorów na funkcję tangens podwojonego kąta:

[tex]\text{tg}2x=\dfrac{2\text{tg}{x}}{1-\text{tg}^2x}[/tex]

Podstawiamy [tex]x=12,5^o[/tex] otrzymując:

[tex]\text{tg}(2\cdot22,5^o)=\dfrac{2\text{tg}22,5^o}{1-\text{tg}^222,5^o}\\\\\text{tg}45^o=\dfrac{2\text{tg}22,5^o}{1-\text{tg}^222,5^o}[/tex]

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy wartość [tex]\text{tg}45^o=1[/tex] oraz podstawiamy wcześniej uzyskaną zależność
[tex]\text{tg}22,5^o=\dfrac{a}{2r}[/tex]:

[tex]1=\dfrac{2\!\!\!\!\diagup^1\cdot\frac{a}{2\!\!\!\!\diagup_1r}}{1-\left(\frac{a}{2r}\right)^2}\\\\1=\dfrac{a}{r}:\left(1-\dfrac{a^2}{4r^2}\right)\\\\1=\dfrac{a}{r}:\left(\dfrac{4r^2}{4r^2}-\dfrac{a^2}{4r^2}\right)\\\\1=\dfrac{a}{r}:\dfrac{4r^2-a^2}{4r^2}\\\\1=\dfrac{a}{r\!\!\!\!\diagup_1}\cdot\dfrac{4r^2\!\!\!\!\!\!\diagup^r}{4r^2-a^2}\\\\1=\dfrac{4ar}{4r^2-a^2}\iff4r^2-a^2=4ar\qquad|-4ar\\\\4r^2-4ar-a^2=0[/tex]

Otrzymujemy równanie kwadratowe z parametrem. Rozwiązujemy je za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego:

[tex]\Delta=(-4a)^2-4\cdot4\cdot(-a^2)=16a^2+16a^2=32a^2\\\\\sqrt\Delta=\sqrt{32a^2}=4a\sqrt2\\\\r_1=\dfrac{-(-4a)-4a\sqrt2}{2\cdot4}=\dfrac{4a-4a\sqrt2}{2\cdot4}=\dfrac{a-a\sqrt2}{2} < 0\\\\r_2=\dfrac{-(-4a)+4a\sqrt2}{2\cdot4}=\dfrac{4a+4a\sqrt2}{2\cdot4}=\dfrac{a+a\sqrt2}{2}\\\\\huge\boxed{r=\frac{a+a\sqrt2}{2}}[/tex]■