Question

rozwiąż równanie
sin2x-[tex]\sqrt{2}[/tex]cosx=[tex]\sqrt{2}[/tex]sinx-1

Answer 1

Równanie trygonometryczne.

[tex]\huge\boxed{x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\ \vee x=\dfrac{\pi+8k\pi}{4},\ k\in\mathbb{Z}}[/tex]

ROZWIĄZANIE:

[tex]\sin2x-\sqrt2\cos x=\sqrt2 \sin x-1\\\\\sin2x+1-\sqrt2\cos x-\sqrt2\sin x=0[/tex]

Skorzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kata:

[tex]\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha[/tex]

Z jedynki trygonometrycznej:

[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]

oraz wyłączamy wspólny czynnik przed nawias w dwóch ostatnich wyrazach.

[tex]2\sin x\cos x+\sin^2x+\cos^2x-\sqrt2(\cos x+\sin x)=0[/tex]

Trzy pierwsze wyrazy możemy zwinąć ze wzoru skróconego mnożenia:

[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]

[tex]\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin x+\cos x)^2[/tex]

Stąd otrzymujemy:

[tex](\sin x+\cos x)^2-\sqrt2(\sin x+\cos x)=0[/tex]

Tak jak w metodzie grupowania przy rozwiązywaniu równań wielomianowych, wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:

[tex](\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x-\sqrt2)=0[/tex]

Iloczyn jest równy 0, gdy jeden z czynników jest równy 0. Stąd:

[tex]\sin x+\cos x=1\ \vee\ \sin x+\cos x-\sqrt2=0[/tex]

Rozwiążmy kolejno równania:

[tex]\sin x+\cos x=0\\\\\sin x=-\cos x\qquad|:\cos x\neq0\\\\\dfrac{\sin x}{\cos x}=-1[/tex]

Na podstawie tożsamości [tex]\text{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex] mamy:

[tex]\text{tg}x=-1\Rightarrow\boxed{x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}[/tex]

[tex]\sin x+\cos x-\sqrt2=0\\\\\sin x+\cos x=\sqrt2\\\\\sqrt2\left(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\cos x\right)=\sqrt2\qquad|:\sqrt2\\\\\sin x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\cos x=1[/tex]

Skorzystamy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytując, dla jakiego kąta wartość funkcji sinus i cosinus wynosi [tex]\frac{\sqrt2}{2}[/tex]

[tex]\sin\dfrac{\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}[/tex]

Skorzystamy ze wzoru na sinus sumy katów:

[tex]\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha[/tex]

[tex]\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1\Rightarrow x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\qquad|\cdot4\\\\4x+\pi=2\pi+8k\pi\qquad|-\pi\\\\4x=\pi+8k\pi\qquad|:4\\\\\boxed{x=\dfrac{\pi+8k\pi}{4}}[/tex]