Question

[tex] \frac{dy}{dt} + 2y = 13 \sin(2t) [/tex]
Evaluado en
[tex]y(0) = 4[/tex]
saben?​

Answer 1

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Ecuación diferencial de primer orden

[tex]\frac{dy}{dt}+2y=13sen(2t)[/tex]

1. Identificamos que tipo de EDO es

Una ecuación diferencial ordinaria y lineal de primer orden tiene la forma

[tex]y'+p(t)y=q(t)[/tex]

Como se tiene la misma forma vamos a resolver como se resuelve una EDO de primer orden lineal

2. La solución es

[tex]y(t) \mu(t)= \int q(t)\mu(t)[/tex]

Donde

[tex]\mu (t)=e^{\int p(t)dt}[/tex]

3. Vemos quien es q(t) y p(t)

[tex]p(t)=2[/tex]

[tex]q(t)=13sen(2t)[/tex]

4. Calculamos mu

[tex]\mu(t)=e^{2dt}[/tex]

[tex]\mu(t)=e^{2t}[/tex]

5. Calculamos

[tex]\int q(t) \mu(t)dt[/tex]

[tex]\int (13sen(2t))(e^{2t})dt[/tex]

[tex]13 \int sen(2t)e^{2t}dt[/tex]

Por ahora dejamos de lado al 13 para resolver la integral al final el resultado lo multiplicamos por 13.

[tex]\int sen(2t)e^{2t}dt[/tex]

Para simplificar llamamos a la integral con la letra I

[tex]\int sen(2t)e^{2t}dt = I[/tex]

Aplicamos integración por partes

[tex]\int udv=uv- \int vdu[/tex]

Elegimos u la mas fácil de derivar y dv la mas fácil de integrar

[tex]u=sen(2t)[/tex]

[tex]du=2cos(2t)dt[/tex]

[tex]dv=e^{2t}dt[/tex]

[tex]v=\frac{1}{2}e^{2t}[/tex]

Aplicando integración por partes

[tex]I=\frac{1}{2}(sen(2t))(e^{2t})-\int (\frac{1}{2}e^{2t}(2cos(2t))dt[/tex]

[tex]I=\frac{1}{2}sen(2t)e^{2t}-\int e^{2t}cos(2t)dt[/tex]

Resolvemos la otra integral aplicando integración por partes de nuevo

[tex]u=cos(2t)[/tex]

[tex]du=-2sen(2t)dt[/tex]

[tex]dv=e^{2t}dt[/tex]

[tex]v= \frac{1}{2}e^{2t}[/tex]

[tex]\int e^{2t}cos(2t)=cos(2t)(\frac{1}{2}e^{2t})-\int (\frac{1}{2}e^{2t})(-2sen(2t)dt)[/tex]

[tex]\int e^{2t}cos(2t)=\frac{1}{2}cos(2t)e^{2t} + \int e^{2t}sen(2t)dt[/tex]

Notemos que se encuentra I, sustituimos

[tex]\int e^{2t}cos(2t)=\frac{1}{2}cos(2t)e^{2t} + I[/tex]

Sustituimos esta integral en la que resolviamos originalmente

[tex]I=\frac{1}{2}sen(2t)e^{2t}-\int e^{2t}cos(2t)dt[/tex]

[tex]I=\frac{1}{2}sen(2t)e^{2t} - (\frac{1}{2}cos(2t)e^{2t} + I)[/tex]

[tex]I=\frac{1}{2}sen(2t)e^{2t} - \frac{1}{2}cos(2t)e^{2t} - I[/tex]

Ahora como I era la integral del inicio, debemos de despejarla, ya que queríamos conocer esa integral

[tex]I+I =\frac{1}{2}sen(2t)e^{2t} - \frac{1}{2}cos(2t)e^{2t} [/tex]

[tex]2I=\frac{1}{2}sen(2t)e^{2t} - \frac{1}{2}cos(2t)e^{2t} [/tex]

[tex]I=\frac{1}{4}sen(2t)e^{2t} - \frac{1}{4}cos(2t)e^{2t} [/tex]

Ahora multiplicamos por 13 como queríamos en un inicio

[tex]13 \int sen(2t)e^{2t}dt = 13I[/tex]

[tex]13I=\frac{13}{4}sen(2t)e^{2t} - \frac{13}{4}cos(2t)e^{2t} [/tex]

6. Sustituimos todo en la solución

[tex]y(t) \mu(t)= \int q(t)\mu(t)[/tex]

[tex]\mu(t)=e^{2t}[/tex]

[tex]\int q(t) \mu(t)dt = \frac{13}{4}sen(2t)e^{2t} - \frac{13}{4}cos(2t)e^{2t}[/tex]

Que no se nos olvide agregar la constante de integración que es resultado de todas las otras constantes anteriores

[tex]\int q(t) \mu(t)dt = \frac{13}{4}sen(2t)e^{2t} - \frac{13}{4}cos(2t)e^{2t} + c[/tex]

Vamos a factorizar un 13/4 (eso no afecta a la constante ya que aun factorizando un número seguirá siendo la misma constante, y además factorizamos un e^2t

[tex]\int q(t) \mu(t)dt = \frac{13}{4}e^{2t}(sen(2t) - cos(2t))+c_{1}e^{-2t}[/tex]

Sustituyendo nos queda

[tex]y(t)e^{2t}=\frac{13}{4}e^{2t}(sen(2t)-cos(2t) +c_{1}e^{-2t} )[/tex]

Simplificando nos queda

[tex]y(t)=\frac{13}{4}(sen(2t)-cos(2t) +c_{1}e^{-2t} )[/tex]

Solo evalúa el punto que te dan y calcula C1

y(0)=4

x=0

y=4

[tex]4=\frac{13}{4}(sen(0)-cos(0)+c_{1}e^{0})[/tex]

[tex]4=\frac{13}{4}(0-1+c_{1})[/tex]

[tex]4=\frac{13}{4}(c_{1}-1)[/tex]

[tex]\frac{16}{13}=c_{1}-1[/tex]

[tex]c_{1}=\frac{16}{13}+\frac{13}{13}[/tex]

[tex]c_{1}=\frac{29}{13}[/tex]

Sustituyendo finalmente nos queda

[tex]y(t)=\frac{13}{4}(sen(2t)-cos(2t) +c_{1}e^{-2t} )[/tex]

[tex]y(t)=\frac{13}{4}(sen(2t)-cos(2t) + \frac{29}{13} e^{-2t} )[/tex]

Arreglando un poco

[tex]y(t)=\frac{1}{4}(13sen(2t)-13cos(2t) + 29e^{-2t} )[/tex]